13.1 二次型Quadratic Form

曲面

  曲面是非常值得研究的，在制造业中，曲面尤其重要，所以我们先从曲面开始。比如以下曲面：

  它的方程是$z=3x^2+4xy+5y^2$，二次型就是要把这种多项式形式变成矩阵形式。

定义

  二次型是一个向量的函数，它的定义为：
$$Q(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$
  二次型有矩阵形式，所以二次型可以写成：
$$Q(\mathbf{x}）={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$$
  它的标准矩阵形式为：
A = ( a 11 1 2 a 12 ⋯ 1 2 a 1 n 1 2 a 12 a 22 ⋯ 1 2 a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 a 1 n 1 2 a 2 n ⋯ a n n ) A=\begin{pmatrix} a_{11} & \frac12a_{12} & \cdots & \frac12a_{1n}\\ \frac12a_{12} & a_{22} & \cdots & \frac12a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac12a_{1n} & \frac12a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix} A= ​a11​21​a12​⋮21​a1n​​21​a12​a22​⋮21​a2n​​⋯⋯⋱⋯​21​a1n​21​a2n​⋮ann​​ ​
  所以二次型的标准矩阵是一个对称阵。

举例

  如定义以下二次型:
$$Q(\mathbf{x}）=3x_1{x}_1+4x_1{x}_2+5x_2{x}_2$$
  它的标准型为：
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$
  但是也可以这样表示：
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$$
  把向量$(1,2{)}^T$代入，计算结果都是31.但是由于对称的更容易计算，所以国内的书里二次型的矩阵都是对称的，因为目的是为了表示曲面，非对称的矩阵加大了计算难度，也没啥意思。