同余定理

同余定理

同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数$m$，如果两个整数$a$和$b$满足$(a-b)$能被$m$整除，那么我们就称整数$a$与$b$对模$m$同余，记作$a\equiv b(modm)$。

自我理解：两个数同时除以$m$得到的余数相同。

一、同余

定义：设$m$是大于$1$的正整数，$a,b$是整数，如果$m|(a-b)$，则称$a$与$b$关于模$m$同余，记作$a\equiv b(modm)$。

定理1：整数$a,b$对模$m$同余的充要条件是$a-b$能被$m$整除（即$m|a-b$）。

推论：$a\equiv b(modm)$的充分条件是$a=m\times t+b$($t$为整数)。

表示对模$m$同余关系的式子叫做模$m$的同余式，简称同余。

定理2：同余关系具有反身性，对称性与传递性，即

1. $a\equiv a(modm)$;
2. 若$a\equiv b(modm)$，则$b\equiv a(modm)$；
3. 若$a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)$，则$a\equiv c(modm)$。

定理3：若$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$，则

1. $a+c\equiv b+d(modm)$；
2. $a-c\equiv b-d(modm)$;
3. $a\times c\equiv b\times d(modm)$.

对于多个的同模同余式也能进行加减乘运算。对于乘法运算还有一下推论：

推论：若$a\equiv b(modm)$，$n$为自然数，则$a\times n\equiv b\times n(modm)$。

定理4：若$c\times a\equiv c\times b(modm),(c,m)=d$，且$a,b$为整数，则$a\equiv b(mod\frac{m}{d})$。

推论：若$c\times a\equiv c\times b(modm),(c,m)=1$，且$a,b$为整数，则$a\equiv b(modm)$。

定理5：若$a\equiv b(modm),a\equiv b(modn)$，则$a\equiv b(mod[m,n])$。

推论：若$a\equiv b(mod{m}_i),i=1,2,\dots ,n$，则$a\equiv b(mod[m_1,m_2,\dots ,m_n])$。

定理6：若$a\equiv b(modm),n|m$，则$a\equiv b(modn)$。

定理7：若$a\equiv b(modm)$,那么$a^n\equiv b^n(modm)$。

同余证一些特殊数的整除特征：

1. 正整数$a$是$9$的倍数必须且只须$a$的各位数码之和是$9$的倍数。
2. 设$a=a_n{a}_{n-1}\dots a_1{a}_0$，$11|a$的充要条件是$11|a_0-a_1+a_2-\cdots +(-1{)}^n{a}_n$。
3. 正整数$a$能被$7$整除的条件是$a_0-a_1+a_2-\cdots +(-1{)}^n{a}_n\equiv 0(mod7)$,这里的$a_1$为三位数（千进制）。

定义2：如果$m$为自然数，集合$k_i=\{x|x=m\times t+i,i是任意整数\}，r=0,1,\dots ,n$。则称$k_0,k_1,\dots ,k_{m-1}$为模$m$的剩余类。

剩余类具有如下比较明显的性质：

1. 模$m$的剩余类$k_0,k_1,\dots ,k_{m-1}$都是整数的非空子集；
2. 每个整数必属于一个剩余类；
3. 两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模$m$同余。

定义3：从模$m$的每个剩余类中任取一个数，所得到的$m$的个数叫做模$m$的完全剩余系。

定理6：$k$个整数$a_1,a_2,\dots ,a_k$构成模$m$的完全剩余系的充要条件是$k=m$，且这$m$个数对模$m$两两不同余。

定理7：若$x_1,x_2,\dots ,x_m$是模$m$的完全剩余系，$(a,m)=1,b$为整数，则$a\times x_1+b,a\times x_2+b,\dots ,a\times x_m+b$也是模$m$的完全剩余系。