同余定理

同余定理

同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数 m m m,如果两个整数 a a a b b b满足 ( a − b ) (a-b) (ab)能被 m m m整除,那么我们就称整数 a a a b b b对模 m m m同余,记作 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod \: m) ab(modm)

自我理解:两个数同时除以 m m m得到的余数相同。

一、同余

定义:设 m m m是大于 1 1 1的正整数, a , b a,b a,b是整数,如果 m ∣ ( a − b ) m|(a-b) m(ab),则称 a a a b b b关于模 m m m同余,记作 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod \: m) ab(modm)

定理1:整数 a , b a,b a,b对模 m m m同余的充要条件是 a − b a-b ab能被 m m m整除(即 m ∣ a − b m|a-b mab)。

推论 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m) ab(modm)的充分条件是 a = m × t + b a=m\times t+b a=m×t+b( t t t为整数)。

表示对模 m m m同余关系的式子叫做模 m m m的同余式,简称同余。

定理2:同余关系具有反身性,对称性与传递性,即

  1. a ≡ a ( m o d   m ) a\equiv a(mod\:m) aa(modm);
  2. a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m) ab(modm),则 b ≡ a ( m o d   m ) b\equiv a(mod\:m) ba(modm)
  3. a ≡ b ( m o d   m ) , b ≡ c ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m),b\equiv c(mod\:m) ab(modm),bc(modm),则 a ≡ c ( m o d   m ) a\equiv c(mod\:m) ac(modm)

定理3:若 a ≡ b ( m o d   m ) , c ≡ d ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m),c\equiv d(mod\:m) ab(modm),cd(modm),则

  1. a + c ≡ b + d ( m o d   m ) a+c\equiv b+d(mod\:m) a+cb+d(modm)
  2. a − c ≡ b − d ( m o d   m ) a-c\equiv b-d(mod\:m) acbd(modm);
  3. a × c ≡ b × d ( m o d   m ) a\times c\equiv b\times d(mod\:m) a×cb×d(modm).

对于多个的同模同余式也能进行加减乘运算。对于乘法运算还有一下推论:

推论:若 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m) ab(modm) n n n为自然数,则 a × n ≡ b × n ( m o d   m ) a\times n\equiv b\times n(mod\:m) a×nb×n(modm)

定理4:若 c × a ≡ c × b ( m o d   m ) , ( c , m ) = d c\times a\equiv c \times b(mod\:m),(c,m)=d c×ac×b(modm),(c,m)=d,且 a , b a,b a,b为整数,则 a ≡ b ( m o d   m d ) a\equiv b(mod\:\frac{m}{d}) ab(moddm)

推论:若 c × a ≡ c × b ( m o d   m ) , ( c , m ) = 1 c\times a\equiv c\times b(mod\:m),(c,m)=1 c×ac×b(modm),(c,m)=1,且 a , b a,b a,b为整数,则 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m) ab(modm)

定理5:若 a ≡ b ( m o d   m ) , a ≡ b ( m o d   n ) a\equiv b(mod\:m),a\equiv b(mod\:n) ab(modm),ab(modn),则 a ≡ b ( m o d   [ m , n ] ) a\equiv b(mod\:[m,n]) ab(mod[m,n])

推论:若 a ≡ b ( m o d   m i ) , i = 1 , 2 , … , n a\equiv b(mod\:m_i),i=1,2,\dots,n ab(modmi),i=1,2,,n,则 a ≡ b ( m o d   [ m 1 , m 2 , … , m n ] ) a\equiv b(mod\:[m_1,m_2,\dots,m_n]) ab(mod[m1,m2,,mn])

定理6:若 a ≡ b ( m o d   m ) , n ∣ m a\equiv b(mod\:m),n|m ab(modm),nm,则 a ≡ b ( m o d   n ) a\equiv b(mod\:n) ab(modn)

定理7:若 a ≡ b ( m o d   m ) a\equiv b(mod\:m) ab(modm),那么 a n ≡ b n ( m o d   m ) a^n\equiv b^n(mod\:m) anbn(modm)

同余证一些特殊数的整除特征

  1. 正整数 a a a 9 9 9的倍数必须且只须 a a a的各位数码之和是 9 9 9的倍数。
  2. a = a n a n − 1 … a 1 a 0 a=a_na_{n-1}\dots a_1a_0 a=anan1a1a0 11 ∣ a 11|a 11∣a的充要条件是 11 ∣ a 0 − a 1 + a 2 − ⋯ + ( − 1 ) n a n 11|a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n 11∣a0a1+a2+(1)nan
  3. 正整数 a a a能被 7 7 7整除的条件是 a 0 − a 1 + a 2 − ⋯ + ( − 1 ) n a n ≡ 0 ( m o d   7 ) a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n\equiv0(mod\:7) a0a1+a2+(1)nan0(mod7),这里的 a 1 a_1 a1为三位数(千进制)。

定义2:如果 m m m为自然数,集合 k i = { x ∣ x = m × t + i , i 是任意整数 } , r = 0 , 1 , … , n k_i=\{x|x=m\times t+i,i是任意整数\},r=0,1,\dots,n ki={xx=m×t+i,i是任意整数}r=0,1,,n。则称 k 0 , k 1 , … , k m − 1 k_0,k_1,\dots,k_{m-1} k0,k1,,km1为模 m m m的剩余类。

剩余类具有如下比较明显的性质:

  1. m m m的剩余类 k 0 , k 1 , … , k m − 1 k_0,k_1,\dots,k_{m-1} k0,k1,,km1都是整数的非空子集;
  2. 每个整数必属于一个剩余类;
  3. 两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模 m m m同余。

定义3:从模 m m m的每个剩余类中任取一个数,所得到的 m m m的个数叫做模 m m m的完全剩余系。

定理6 k k k个整数 a 1 , a 2 , … , a k a_1,a_2,\dots,a_k a1,a2,,ak构成模 m m m的完全剩余系的充要条件是 k = m k=m k=m,且这 m m m个数对模 m m m两两不同余。

定理7:若 x 1 , x 2 , … , x m x_1,x_2,\dots,x_m x1,x2,,xm是模 m m m的完全剩余系, ( a , m ) = 1 , b (a,m)=1,b (a,m)=1,b为整数,则 a × x 1 + b , a × x 2 + b , … , a × x m + b a\times x_1+b,a\times x_2+b,\dots,a\times x_m+b a×x1+b,a×x2+b,,a×xm+b也是模 m m m的完全剩余系。

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