(三) PID控制中的噪声过滤

在前面的章节里，我们谈到了积分环节由于执行器的物理限制导致的积分项Wind-up，通过设置饱和限幅器，选择性关闭积分环节来完成Wind-up问题。

今天我们要解决的问题就是微分环节可能存在的问题。通过传感器我们可以观测出一个被控量的大小，和前面说到的anti-windup一样，受到物理环境的限制，对于传感器而言，那就是噪声。

我们知道微分环节其实就是对误差的一个求导，几何意义就是斜率，斜率越大，表示控制系统受到的影响也越大。如果噪声变化量很大（或者说频率很大）系统将会受到很大的影响。

测量导致的噪声

传感器是会受到周围环境的干扰，它反映的通常不是实际值。比如：

• Thermal noise
• Shot noise
• Flicker noise
• Brust noise
• Coupled noise
• White noise

我们感兴趣的是他们是如何影响我们的系统的。虽然对于某些控制规律中，只要噪声是一个低幅度的，他可以看成是对系统无关紧要的影响，但对这次要讲的理想PID而言是不一定的。

上图，黄色的斜线代表了高低频率噪声的斜率，斜率越大，对微分项影响也越大，从而会影响我们整个控制的输出。或者你可以从代数角度来解释，因为所有信号都可以看成是无穷个正弦信号的组合：
$$noise=y(t)=A\sin ({\omega }_{a}t+{\varphi }_a)+B\sin ({\omega }_{b}t+{\varphi }_b)+\cdots$$
为了简化问题，我们只考虑第一项：
$$y(t)=A\sin ({\omega }_a+{\varphi }_a)$$
其中，$A$表示幅值，${\omega }_a$角频率，$\varphi$相角。

对其进行求导：
$$y(t)=A\cdot {\omega }_a\cdot \sin ({\omega }_a+{\varphi }_a+90^{\circ })$$
只看幅值部分，有以下结论：

• 当${\omega }_a>1rad/s$ 幅值变大
• 当${\omega }_a<1rad/s$ 幅值变小

可以画出以下图形：

随着角频率的增大，幅值也增大；反之，角频率越小，幅值也越小。我们想要的是设定一个合理的截断，降低其对微分项的影响。重新回到我们的PID图：

理想情况我们希望将所有噪声都分离出来，事实上不可能做到。索性的是，大多数噪声高幅值的通常具有较低频率，高频率的往往具有较低幅值。显然使用一个低通滤波器是合适的，比如说一阶低通滤波器。

设定一个截止频率，小于这个频率的都保留，大于这个频率的都过滤。这样的处理将会使得噪声对于我们的系统影响降低。

拉普拉斯变换

拉普拉斯域的传递函数	含义
S	微分
1/S	积分
N/(S+N)	截止频率为N rad/s低通滤波器

考虑一个低通滤波器：
$$\frac{10}{S+10}$$
常数项10就是代表截止频率为$10rad/s$的一阶低通滤波器。不过我们也会写成其他形式：
$$\frac{N}{S+N}=\frac{1}{\frac{1}{N}S+1}=\frac{1}{\tau S+1}$$
因为频率的倒数是时间，所以这个$\tau$也被称为时间常数。

OK！

这里再提一下，如果实现等价方法(积分反馈回路)：

那么我们如何在这两种方法中选择呢？第一种方法逻辑清晰易懂，但是实现起来效率不高，第二种则是抽象，但是效率较高。

来看看matlab中simulink是如何使用的：

可以看出，Simulink中的微分项是：
$$D\frac{N}{1+N\frac{1}{s}}$$
显然他不是一纯粹的微分环节，他是带了低通滤波，截止频率为$N$.