【构造】0603 Lucky Permutation

题意：

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，对于 $1\le i<j\le n$，交换 $p_i$ 和 $p_j$ 为一次操作，问至少要多少次操作，可以使得最终的排列的逆序对数量为 $1$。

数据范围：$1\le n\le 10^5$

题解：

首先考虑将 $p$ 转换为逆序对为 $0$ 的排列，即 $[1,2,\cdots ,n-1,n]$ 。

对于排列 $p$ ，可以构成 $c$ 个环，$i$ 所在的环为：$[i,p_i,p_{p_i},p_{p_{p_i}},...]$ 。如此，将 $p$ 转换为 $[1,2,\cdots ,n-1,n]$ 需要的最少次数是多少呢？

• 考虑长度为 $1$ 的环，即 $p_i=i$，此时无需交换，答案为 $0$。
• 考虑长度为 $2$ 的环，即 $p_i=j,p_j=i$，此时仅需交换一次，答案为 $1$。
• 考虑长度为 $3$ 的环，即 $p_i=j,p_j=k,p_k=i$，此时第一次将 $j$ 和 $k$ 交换，变为 $p_i=k,p_j=j,p_k=i$，然后第二次将 $i$ 和 $k$ 交换，变为 $p_i=i,p_j=j,p_k=k$，此时需要交换两次，答案为 $2$。
• 考虑长度为 $len$ 的环，考虑交换到最后，必然是一次交换使得两个值都到了正确的位置，之前的交换只会使得一个值到达正确的位置。故此时需要交换 $len-1$ 次，答案为 $len-1$。

故对于每个长度为 $le{n}_i$ 的环，交换次数为 $le{n}_i-1$，共有 $c$ 个环，故总交换次数为：$\sum _{i=1}^c(le{n}_i-1)=(\sum _{i=1}^{c}le{n}_i)-c=n-c$。

接下来我们考虑将 $p$ 转换为逆序对数量为 $1$ 的排列。

上面已经处理得到了将 $p$ 转换为 $[1,2,\cdots ,n-1,n]$ 的环的数量，以及每个环中的数。

一共有 $n-1$ 种逆序对数量为 $1$ 的排列，即：

• $[2,1,3,...,n-1,n]$ ①
• $[1,3,2,...,n-1,n]$ ②
• $[1,2,4,3,...,n-1,n]$ ③
• …
• $[1,2,3,...,n,n-1]$

考虑将排列 $p$ 转换为排列 ① 。

• 如果 $1$ 和 $2$ 在 $p$ 中不在一个环上，则交换后，$1$ 和 $2$ 所在的环会合并成一个环。
• 如果 $2$ 和 $1$ 在 $p$ 中在一个环上，则交换后，$2$ 和 $1$ 所在的环会分成两个环。

对于其余的逆序对数量为 $1$ 的排列是一样的。

证明：
举个 $1$：

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 6 7 8

1->2->3->4->1

对于 环 1->2->3->4->1，交换 $1$ 和 $2$
交换如下：

2 1 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 6 7 8

2->2

1->3->4->1

交换后一个环 1->2->3->4->1 变成两个环，环 2->2 和环 1->3->4->1。

举个 $2$：

1 2 3 4
1 2 3 4

1->1
2->2
3->3
4->4

对于 环 1->1 和 2->2，交换 $1$ 和 $2$
交换如下：

1 2 3 4
2 1 3 4

1->2->1
3->3
4->4

交换后两个环 1->1 和 2->2 变成一个环 1->2->1。

故可以得出

• 如果两个数在 $p$ 中在一个环上，那么交换后其必然不在一个环上，即一个环分裂为两个环。
• 如果两个数在 $p$ 中不在一个环上，那么交换后其必然在一个环上，即两个环分裂为一个环。

来考虑一个单纯的数交换问题：

1 2 3 4
2 3 4 1

1. 1->2->3->4->1

如果交换 $1$ 和 $3$
交换后为：

1 2 3 4
2 1 4 3

1->2->1
3->4->3

可以发现，交换的点 $1$ 和点 $3$ 的指向未变，而指向点 $1$ 的 $4$ 和指向点 $3$ 的 $2$ 的方向分别交换，即 2->3 变成了 2->1，4->1 变成了 4->3 。

再来考虑一个例子：

1 2 3 4
1 3 4 2

1->1
2->3->4->2

如果交换 $1$ 和 $2$
交换后为：

1 2 3 4
2 3 4 1

1->2->3->4->1

可以发现，交换前后，$2$ 的指向未变， $1$ 的指向好像变成了 $2$ ，但要清楚，1->1 这个环可以看出一个 1(1)->1(2) 和 1(2)->1(1) 两条边。一方面 $1$ 作为入度点，一方面 $1$ 作为出度点。

可以看到环的最后，$1$ 仍然指向 $1$ ，但是 $1$ 也指向 $2$。故可以像上述将 $1$ 拆点后来看，1(1)->2,4->1(2),1(2)->1(1)。

再来思考：

• 交换前指向 $2$ 的 $4$ ，交换后指向了 1(2)。$2$ 的指向不变。
• 交换前指向 1(1) 的 1(2) ，交换后指向了 $2$，1(2) 的指向不变，仍然指向 1(1) 。

故两个环变成了一个环。

故得证：交换的 $i$ 和 $j$ 在 $p$ 中若在同一环上，交换后裂成两个环，交换的 $i$ 和 $j$ 在 $p$ 中若在两个环上，交换后合并为一个环。

代码：

#include 
using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n + 1), group(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }

    int circle = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (group[i] != 0) continue;
        circle += 1;
        int j = i;
        while (!group[j]) {
            group[j] = i;
            j = a[j];
        }
    }

    int ans = n + 1;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (group[i] == group[i + 1]) {
            ans = min(ans, n - (circle + 1));
        } else {
            ans = min(ans, n - (circle - 1));
        }
    }

    cout << ans << "\n";
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T = 1;
    cin >> T;
    while (T--) solve();

    return 0;
}