【构造】0605 Another Array Problem

题意：
给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，每次可以选择两个下标 $i,j$，满足 $1\le i<j\le n$，然后将下标 $k\in [i,j]$ 的元素都修改为 $|a_i-a_j|$ ，可以进行若干次操作，问可以使得 $a$ 的所有元素之和最大是多少。

数据范围：$1\le n\le 10^5,1\le a_i\le 10^9$

题解：

• 考虑 $n=2$ 的情况，此时要么选择一次 $1,2$，然后数组变为 $[|a_1-a_2|,|a_1-a_2|]$，要么就不选择。答案为：$max(a_1+a_2,2\times |a_1-a_2|)$

• 考虑 $n\ge 4$的情况，数组最大元素 $maxv$，$a_i=maxv$，那么 $[1,i-1]$ 或者 $[i+1,n]$ ，必然有一个区间的大于等于 $2$。对其中一个区间操作两次，使得这个区间为 $0$，然后再操作 $[1,n]$，使得 $a$ 都变成了 $maxv$。

• 考虑 $n=3$ 的情况

  • 数组最大元素 $maxv$ 在 $a_1$ 或者 $a_3$，可以用上述的方式使得整个数组都变成 $maxv$。

  • 数组最大元素 $maxv$ 在 $a_2$

    • 不进行任何操作：$a_1+a_2+a_3$
    • 将区间的值操作为同一个值，这个值必然需要最大，有几种可能值
      • $a_2-\min (a_1,a_3)$
      • $a_1$
      • $a_2$
      • $|a_2-a_1|$
      • $|a_2-a_3|$
        
        

    为什么要么不操作，要么就把所有值都操作为相同呢？
    因为我们操作到相同的值必然是一个最大值，如果最左边和最右边的值不同，那么必然存在一个最大值，我们必然可以在一些操作后，使得所有值都成为初始两边的较大值。

代码：

    #include 
    using namespace std;

    void solve() {
        int n;
        cin >> n;

        vector<int> a(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

        if (n == 2) {
            cout << max(a[0] + a[1], 2 * abs(a[0] - a[1])) << "\n";
            return;
        }

        int minv = 0x3f3f3f3f;
        int maxv = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            maxv = max(maxv, a[i]);
            minv = min(minv, a[i]);
        }

        if (n >= 4 || a.front() == maxv || a.back() == maxv) {
            cout << 1ll * n * maxv << "\n";
            return;
        }

        // 此时 maxv 居中

        // 不变
        long long ans = accumulate(a.begin(), a.end(), 0ll);
		// 操作为最大值
        ans = max({ans,  3ll * (maxv - minv), 3ll * a[0], 3ll * a[2], 3ll * (maxv - a[0]), 3ll * (maxv - a[2])});

        cout << ans << "\n";
    }

    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(nullptr);

        int T = 1;
        cin >> T;
        while (T--) solve();

        return 0;
    }