panda机器人一个的期望的末端姿态角

若给定panda机器人一个的期望的末端姿态角，如何生成可微的旋转轨迹

旋转轨迹的生成常常使用四元数（Quaternion）来表示，这是因为四元数不会受到万向锁（Gimbal Lock）问题的影响，且对于插值和规划轨迹也很方便。而四元数的线性插值（SLERP）正是一种可以生成连续且可微的旋转轨迹的方法。

例如，如果你有一个开始的姿态四元数 start_q 和一个结束的姿态四元数 end_q，你可以使用以下的 SLERP 函数来生成一个旋转轨迹：

def slerp(start_q, end_q, t):
    omega = np.arccos(np.dot(start_q, end_q))
    so = np.sin(omega)
    return np.sin((1.0-t)*omega) / so * start_q + np.sin(t*omega)/so * end_q

这个 slerp 函数在 t=0 时返回 start_q，在 t=1 时返回 end_q。在这之间，它生成的是一个连续且可微的旋转轨迹。

在这个函数中，start_q 和 end_q 是开始和结束的四元数，t 是一个介于0和1之间的参数，表示在开始和结束四元数之间的插值位置。

注意，这个函数只适用于单位四元数，即四元数的模长为1。如果你的四元数不是单位的，你需要先将其归一化。此外，start_q 和 end_q 必须是代表有效旋转的四元数。最后，这个函数对于长距离的旋转可能不会生成最短的路径，对于这种情况，你可能需要进行一些额外的处理。

请举个例子代入函数slerp

假设我们有一个开始四元数 start_q，其值为 [1, 0, 0, 0]（代表无旋转），以及一个结束四元数 end_q，其值为 [0, 0, 0, 1]（代表围绕Z轴旋转180度）。现在我们想要计算这两个旋转之间的中间旋转，也就是t=0.5的情况。

在Python中，我们可以这样计算：

import numpy as np

def slerp(start_q, end_q, t):
    omega = np.arccos(np.dot(start_q, end_q))
    so = np.sin(omega)
    return np.sin((1.0-t)*omega) / so * start_q + np.sin(t*omega)/so * end_q

start_q = np.array([1, 0, 0, 0])
end_q = np.array([0, 0, 0, 1])
t = 0.5

result_q = slerp(start_q, end_q, t)

print(result_q)

这段代码将输出 [0.70710678, 0., 0., 0.70710678]，这是四元数表示的，围绕Z轴旋转90度的旋转。

需要注意的是，由于浮点数计算的精度问题，实际的输出值可能会略有不同，但它们表示的旋转应该是相同的。

此外，也需要注意确保输入的四元数是单位四元数，否则你需要先将其归一化。四元数 [1, 0, 0, 0] 和 [0, 0, 0, 1] 都是单位四元数，所以我们在这个例子中可以直接使用。

四元数转化为旋转矩阵是唯一的吗

是的，一个单位四元数转换为一个旋转矩阵是唯一的。但反过来并不唯一，一个旋转矩阵可以转换为两个单位四元数，其中一个是正的，另一个是负的。

单位四元数通常表示为 q = [w, x, y, z]，其中 w 是实部，x, y, z 是虚部。它可以转换为一个 3x3 的旋转矩阵：

R = [[1-2*(y^2+z^2),   2*(x*y-w*z),   2*(x*z+w*y)],
     [2*(x*y+w*z),   1-2*(x^2+z^2),   2*(y*z-w*x)],
     [2*(x*z-w*y),   2*(y*z+w*x),   1-2*(x^2+y^2)]]

但是，注意到如果你取四元数的反值，也就是 q’ = [-w, -x, -y, -z]，它将表示相同的旋转，因为插入上述的旋转矩阵转换公式，结果仍然是相同的旋转矩阵。所以说，一个旋转矩阵可以转换为两个单位四元数，一个是正的，另一个是负的。