变限积分求导习题

前置知识：变限积分求导

习题1

已知$F(x)={\int }_x^{2x}\sin t^{2}dt$，求$F^{\prime }(x)$

解：
$F^{\prime }(x)=\sin (4x^2)\cdot 2-\sin (x^2)=2\sin (4x^2)-\sin (x^2)$

习题2

已知函数$f(x)$连续，$F(x)={\int }_{2x}^{x^2}f(x)dx$，求$F^{\prime }(x)$

解：
\qquad 原式$=f(x^2)\cdot 2x-f(2x)\cdot 2=2xf(x^2)-2f(2x)$

习题3

已知$F(x)=x^2{\int }_e^x\ln tdt$，求$f^{\prime }(e)$

解：
$F^{\prime }(x)=2x{\int }_e^x\ln tdt+x^2\ln x$

$F^{\prime }(e)=2x\cdot 0+e^2\cdot 1=e^2$

习题4

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-{\int }_0^x{e}^{t^2}dt}{x^3}$

解：
\qquad 由洛必达法则，原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^{x^2}}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2x{e}^{x^2}}{6x}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}}{3}=-\frac{1}{3}$