Max double slice sum 的解法

1. 上题目：

Task description

A non-empty zero-indexed array A consisting of N integers is given.

A triplet (X, Y, Z), such that 0 ≤ X < Y < Z < N, is called a double slice.

The sum of double slice (X, Y, Z) is the total of A[X + 1] + A[X + 2] + ... + A[Y − 1] + A[Y + 1] + A[Y + 2] + ... + A[Z − 1].

For example, array A such that:

 A[0] = 3 A[1] = 2 A[2] = 6 A[3] = -1 A[4] = 4 A[5] = 5 A[6] = -1 A[7] = 2

contains the following example double slices:

• double slice (0, 3, 6), sum is 2 + 6 + 4 + 5 = 17,
• double slice (0, 3, 7), sum is 2 + 6 + 4 + 5 − 1 = 16,
• double slice (3, 4, 5), sum is 0.

The goal is to find the maximal sum of any double slice.

Write a function:

int solution(int A[], int N);

that, given a non-empty zero-indexed array A consisting of N integers, returns the maximal sum of any double slice.

For example, given:

 A[0] = 3 A[1] = 2 A[2] = 6 A[3] = -1 A[4] = 4 A[5] = 5 A[6] = -1 A[7] = 2

the function should return 17, because no double slice of array A has a sum of greater than 17.

Assume that:

• N is an integer within the range [3..100,000];
• each element of array A is an integer within the range [−10,000..10,000].

Complexity:

• expected worst-case time complexity is O(N);
• expected worst-case space complexity is O(N), beyond input storage (not counting the storage required for input arguments).

Elements of input arrays can be modified.

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大体意思很简单，就是求以X为中心的不包含X的左右两段slice的和的最大值。

 

2.题目分析

   这个题目我乍看之下，觉得是一个很动态的问题，有三个变量，一个是中心点X，一个是左边界Y，一个是右边界Z；有了这三个点才能确定出一个确定的double slice。暴力算法的时间复杂度有O(N³). 但是题目要求O（N）。所以肯定存在一种简便算法来完成这个操作，即通过空间来换时间。

   我们冷静的分析一下。

   首先，这个最大点，肯定是以中间点X为轴左右两段相加和。对于X来说，这个点的max等于左边的max加上右边的max。即我们只要知道，加到X-1处左边能够加到的最大max，和，从右加到X+1处，右边的max，两者相加就为以X点为轴的max。对于其他左sum与右sum来说，必然小于这个max。

   那么我们再以O（N）的时间复杂度遍历所有X点，找出最大的即可~

   所以现在的问题就变成，找出每一个点X，左侧的连续max slice sum，以及右侧是max slice sum。

   这时，我们惊喜的发现，通过递推的算法，我们又可以通过O(N)的时间复杂度完成这个问题~

   1.如果我们确定了i点左侧最大sum，那么i+1点最侧最大的sum就是 max((sum[i]+A[i]),0)

   2.通过递推，可以用线性时间复杂度完成 foreMax[] 的构建。

   3.同理，可以完成postMax[]的构建。

   通过这两个数组在每一个节点上的求和，我们便可找到最大的double slice sum的值哦~

   时间复杂度为 O(3*N), 空间复杂度为O（2*N）；

 

3.结果：

  

 

 1 // you can write to stdout for debugging purposes, e.g.
 2 // printf("this is a debug message\n");
 3 
 4 int solution(int A[], int N) {
 5     // write your code in C99
 6     int foreMax[N];
 7     int postMax[N];
 8     A[0]=0;
 9     A[N-1]=0;
10     
11     foreMax[0]=0;
12     // foreMax[1]=0;
13     postMax[N-1]=0;
14     int i;
15     for(i=1;i<N;i++)
16     {
17         if(foreMax[i-1]+A[i-1]>0)
18         {
19             foreMax[i]=foreMax[i-1]+A[i-1];
20         }
21         else
22         {
23             foreMax[i]=0;
24         }
25     }
26     
27     for(i=N-2;i>=0;i--)
28     {
29         if((postMax[i+1]+A[i+1])>0)
30         {
31             postMax[i]=postMax[i+1]+A[i+1];
32         }
33         else
34         {
35             postMax[i]=0;
36         }
37     }
38     int max = 0;
39     
40     for(i=1;i<N-1;i++)
41     {
42         if(foreMax[i]+postMax[i]>max)
43         {
44             max = foreMax[i]+postMax[i];
45         }
46     }
47     return max;
48 }