C++算法：加权连通图的最小生成树(Kruskal)

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前言

最小生成树算法就是在众多可行的方案中选择代价最小的方法。生活中我们经常会遇到类似可以抽象成最小生成树的例子：比如你要给家中布电线，我们将每个用电器看作是顶点，那你可以从总闸布设到每一电器的电线，也可以从就近点接线。假设我们用从就近点接线，那就存在如何布线更节约的问题。这就是最小生成树可以解决的问题。

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一、什么是最小生成树

用数学话来说，存在一个有n个顶点的带权连通图G。如果存在一个包含了G中所有顶点以及部分边的子图G^’，且子图G^’的各边权值和最小，并且还不形成回路。那么我们就可以称子图G^’是图G的最小生成树。前面所说的在家布电线的问题，我们可以将各电器看作是顶点，将电线看作是边。那我们可以给出如下图：

图中蓝点代表了电器，黑线代表了各电器之间可以布线，红字代表了此段距离。没有连通的点说明不能在此两者之间布线。从生活经验来说，我们直接选距离最短的两个点开始布线就是了呗？

计算机科学家：约瑟夫·伯纳德克鲁斯卡（Krusdal）的想法和我们一样，他最著名的工作是计算加权图的最小生成树(MST) 的Kruskal 算法。该算法首先按权重对边进行排序，然后继续通过有序列表向部分 MST 添加一条边，前提是添加新边不会创建循环。

二、代码实现

按照算法逻辑，我们先把图中的边清空，可以得到如下顶点图：

然后我们用代码一步步将图中的顶点按距离的远近一步步连上，最终得到最小树。

1、构建图

很显然用二维数组来生成这个图会方便很多，数组的行列下标分别代表了一个顶点，存储的值就是边权（我们例子中的电器之间的距离）并没有方向的问题，我们要求的只是连通。

代码如下（示例）：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef struct {  //边构造
    int start;
    int end;
    int val;
}edge;

class Graph{
    private:
        int vertex;      //顶点数
        int** matrix;    //有向图关系矩阵
        int* sign;    //标记边所属集合
        vector<edge> edges;      //存储所有边
        vector<edge> mst;    //存储最小生成树
        int weight = 0;    //最小生成树的权重和

    public:
        Graph(const int n ,vector<vector<int>> &arr){
            vertex = n;           
            matrix = new int* [vertex];          //生成有向图关系矩阵
            sign = new int[vertex];               
            for (int i=0; i<vertex; i++) sign[i]=i;   //初始顶点集合标记为自身，表示图是各点独立的森林
            for (int i = 0; i < 9; ++i){
                matrix[i] = new int[9];
                for (int j=0; j<9; j++){
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
            edge tmp;
            for (int i=0; i<15; ++i){          
                matrix[arr[i][0]][arr[i][1]] = arr[i][2];   //生成有向图矩阵,演示用
                tmp.start = arr[i][0];                      //生成所有边
                tmp.end = arr[i][1];
                tmp.val = arr[i][2];
                edges.push_back(tmp);
            }
        }

        ~Graph(){
            delete[] matrix;
            delete[] sign;
        }
        
		void show(){            //显示矩阵，演示用，和逻辑无关
            for (int i=0; i<9; ++i){
                for (int j=0; j<9; ++j){
                    cout << matrix[i][j] << " ";
                }
                cout << endl;
            }
        }

这里我们把顶点间的距离用arr数组来表示，每个元素有3个值，表示了顶点i，j之间存在边，边权为x。如{0,1,9}就表示了顶点0和顶点1存在权重为9的边。在布线例子中，就是0号电器到1号电器的距离为9。以此类推，然后我们将其存储到matrix这个二维数组中。代码和前面用数组表示的游戏技能树差不多，笔者也是直接复制过来的，删除了一些不需要的代码就行，很方便。这样我们就生成了最前面图一中所示的图。代码中有个show函数，可以打印出矩阵来看看：

0 9 0 5 9 0 0 0 0 
0 0 0 3 0 7 0 0 0 
0 0 0 13 0 8 10 0 0 
0 0 0 0 0 0 2 0 12 
0 0 0 0 0 0 0 5 4 
0 0 0 11 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 6 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 

可以看出，顶点8没有连出的边。图中肯定是有的，这是我们只插入了单向的原因，顶点7、4、3都有连接到顶点8的边，在求最小生成树的过程中，我们不需要双向连接，当然你把8->7、8->4、8->3的边写入图中也没有问题，其它顶点也一样。因为从前面的定义我们知道，最小生成树不能有环，所以后面代码中肯定有判断是否形成的环的部分。

2、生成树

代码如下（示例）：

        int is_inset(edge &e){          //判断边的两个顶点是在哪个集合中，修改标记
            if (sign[e.start] == sign[e.end]) return 0;
            int dest = sign[e.end];
            sign[e.end] = sign[e.start];
            for (int j=0; j<vertex; j++){
                if(sign[j]==dest) sign[j]=sign[e.start];
            }   
            return 1;
        }
       
        void kruskal(){
            sort(edges.begin(), edges.end(), [](auto a, auto b){return a.val < b.val;});  //对边以val排序
            int i = 0;
            while (mst.size() < vertex-1){
                if (is_inset(edges[i])){
                    mst.push_back(edges[i]);
                    weight += edges[i].val;
                }
                i++;
            }
            for (int i=0; i<mst.size(); i++) cout << mst[i].start << " -- " << mst[i].end << endl; 
            cout << "The weight of the MST tree: " << weight <<endl;
        }

这部分有两个函数，函数kruskal非常简单，按val的值从小到大取出边，交给is_inset函数判断后，放入mst向量。显然is_inset函数才是这个算法的关键。

这里我们采用了一个数组，数组的下标就是顶点编号，我们将此数组的各个值先默认设置为它的下标，这代表了如图二所示的只有根节点的森林，每一顶点都是以它自己为根节点的一棵树。很显然当两个顶点不在一个集合中（sign以顶点为下标的值不同），表示它们没连上。当一条边的两个顶点都在一个集合中（sign以顶点为下标的值相同），肯定这条边的两个顶点已经在同一个集合中，也就是已经连上，再添加就形成环了。比如下图的顶点3和5，{3, 5, 11}就是不需要的边。

然后，当两个顶点被一条边连上了，代码中就是mst中加入了一条边，此时我们将这条边的end顶点在sign数组中的标记改为start顶点的值。并把所有其它标记为end值的顶点都改成start的标记。这个过程其实可以用不相交集合完成。最后生成如下：
kruskal函数打印出来的结果：

7 -- 8
3 -- 6
1 -- 3
4 -- 8
0 -- 3
6 -- 7
1 -- 5
2 -- 5
The weight of the MST tree: 36

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总结

kruskal算法是以边找顶点的办法，从权重低的边找起，不产生环就加入生成树。逻辑很简单，只要理解了in_inset函数的代码运行逻辑就行。既然有以边找点的算法，聪明的计算机科学家们肯定也想到了以点找边的办法，那就是Prim算法。下回分解…

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