C++算法：加权连通图的最小生成树(Prim)

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前言

在前文加权连通图的最小生成树(Kruskal)中已经用以边找点的方式实现最小生成树的生成。Prim算法也是一种常用的最小生成树算法，和Kruskal不同，Prim算法是以顶点找边实现的。

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一、Prim算法原理

Prim算法的核心思想是：在加权连通图中，顶点的集合V，从图中某一顶点开始，得到子集M。重复得将连接到顶点集合M的权值最小的边加入到边集合，将新找到的顶点加入到顶点M集合，当M=V时，意味着所有顶点都已连通。也就得到了图的最小生成树。有加权连通图如下：

我们选中点A为起点，先将点A加入集合M。顶点A连接的权值最小的加为AB（4），我们选择这条边，将它加入边的集合，再将顶点B加入集合M。

然后，连接到M集合的权值最小的边是BC（8）和AH（8），可以任选一边，我们选择BC。同样将边加入边集合，顶点加入顶点集合。以此类推…

当满足了条件V=M后，就得到了此图的最小生成树。我们用C++代码实现它，下面代码还是用前文Kruskal已经使用的例子中的大部分代码，略有改动，再加上Prim算法的部分：

二、算法实现

我们需要有二个顶点集合，一个集合是已找到的顶点，另一个集合是未加入最小生成树的顶点。这样我们每次从已找到的顶点中的某一点出发，连接到未加入的顶点中权值最小的顶点。可以保证不会形成环，就无需判断是否形成环路。

1、生成图

代码如下（示例）：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef struct {
    int start;
    int end;
    int val;
}edge;

class Graph{
    private:
        int vertex;      //顶点数
        int** matrix;    //有向图关系矩阵
        int* sign;    //标记边所属集合
        vector<edge> edges;      //存储所有边
        vector<edge> mst;    //存储生成树的边
        int weight = 0;    //权重和

    public:
        Graph(const int n ,vector<vector<int>> &arr){
            vertex = n;           
            matrix = new int* [vertex];          //生成有向图关系矩阵
            sign = new int[vertex];               
            for (int i=0; i<vertex; i++) sign[i]=i;   //初始顶点集合标记为自身，表示图是各点独立的森林
            for (int i = 0; i < 9; ++i){
                matrix[i] = new int[9];
                for (int j=0; j<9; j++){
                    matrix[i][j] = 0;
                }
            }
            edge tmp;
            for (int i=0; i<15; ++i){          
                matrix[arr[i][0]][arr[i][1]] = arr[i][2];   //生成有向图矩阵
                matrix[arr[i][1]][arr[i][0]] = arr[i][2];   //反向也有边，prim算法需要
                tmp.start = arr[i][0];                      //生成所有边
                tmp.end = arr[i][1];
                tmp.val = arr[i][2];
                edges.push_back(tmp);
            }
        }

        ~Graph(){
            delete[] matrix;
            delete[] sign;

实际上与前文的图生成部分相比，只加了这一句matrix[arr[i][1]][arr[i][0]] = arr[i][2]; //反向也有边，prim算法需要因为是找边，边是双向的。所以要在矩阵中添加。

2、Prim

因为复用了前文的大量代码，所以实现此最小生成树的方式有点特殊。当然原理是一样的，就是代码有点奇怪的感觉，但是联系前文一起看可以更好地理解。代码如下（示例）：

edge find_edge(list<int> va, list<int> v){
            int min=100, st, en;                              //假设权值最大为100
            for (auto i=v.begin(); i!=v.end(); i++){
                for (auto j=va.begin(); j!=va.end(); j++){
                    if (matrix[*i][*j] != 0 && matrix[*i][*j] < min){
                        st = *i, en = *j;
                        min = matrix[st][en];
                    }
                }
            }
            edge tmp;
            tmp.start=st, tmp.end=en, tmp.val=min;
            return tmp;
        }

        void prim(){
            list<int> va;  //所有顶点
            list<int> v;   //已加入的顶点
            for (int i=0; i<vertex; i++) va.push_back(i);  //生成所有顶点
            v.push_back(0);   //加入顶点0
            va.remove(0);
            while (va.size()){
                edge e = find_edge(va, v);
                mst.push_back(e);
                v.push_back(e.end);
                va.remove(e.end);
                weight += e.val;
            }
            for (int i=0; i<mst.size(); i++) cout << mst[i].start << " -- " << mst[i].end << endl; 
            cout << "The weight of the MST tree: " << weight <<endl;
        }

代码逻辑前面图示已经讲得很明白。va集合存储了所有的顶点，v是已加入生成树的顶点集合。不断循环遍历找出两个集合中相连顶点中权值最小的边，直到所有顶点都连通。要注意的顶点是加入v集合后，要在va集合中删除此顶点。

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总结

最后的测试结果和Kruskal算法生成的略有不同，当然权值和是一样的。不然就至少有一个算法代码出错了，在此例中，只是生成边的顺序不同，实际上某些情况下，是很可能生成的树也不相同的，但二个算法生成的树的权值和肯定一样。

0 -- 3
3 -- 6
3 -- 1
6 -- 7
7 -- 8
8 -- 4
1 -- 5
5 -- 2
The weight of the MST tree: 36

这里是从顶点0开始生成的，实际上可以从任一个顶点开始。
Kruskal和Prim算法都是典型的贪心算法思想的应用，相对来说：Kruskal算法更适合边较少的稀疏图，Prim算法则更适用相反的情况，Kruskal算法的时间复杂度是O(ElogE)，E是指边的数量，从这个复杂度就可以看出边越少越快。Prim算法的时间复杂度是O(ElogV)，其中V是顶点的数量。

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