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循环码生成多项式与生成矩阵
定义：记 $\mathrm{C}(x)$ 为 (n, k) 循环码的所有码字对应的多项式的集合, 若 g(x) 是 $\mathrm{C}(x)$ 中除 0 多项式以外次数最低的多项式, 则称 g(x) 为这个循环码的生成多项式。
定理1: $(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k})$ 循环码中, 必定存在一个次数最小的唯一的码多项式g(x) , 称为生成多项式,
$$ g(x)=x^{r}+g_{r-1} x^{r-1}+\cdots+g_{1} x+1 $$
其中: $r=n-k$ .
该码集中任意码字的码多项式必为g(x)的倍式。
非系统循环码的编码:
$$ c(x)=u(x) g(x) $$
设某 (7,4) 循环码的生成多项式为$g(x)=x^{3}+x+1$，问信息串 0110 的循环码是什么?
解:
$$ c(x)=u(x) g(x)=(x^{2}+x)(x^{3}+x+1)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x $$
故码字为: 0111010
定理2: 当且仅当 g(x) 是 $x^{n+1}$ 的 $r=n-k$ 次因式时, g(x)是(n, k)循环码的生成多项式。
定理3: (n, k) 循环码的校验多项式为
$$ \begin{array}{l} h(x)=\frac{x^{n}+1}{g(x)} \\ =h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\cdots+h_{1} x+h_{0} \end{array} $$
写出下面(7,3)循环码的生成多项式
$$ g(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+1 arrow 0011101 $$
(1) 生成多项式、生成矩阵
循环码生成多项式的特点:
- g(x) 的 0 次项是 1 ;
- g(x) 唯一确定, 即它是码多项式中除 0 多项式以外次数最低的多项式;
- 循环码每一码多项式都是 g(x) 的倍式, 且每一个小于等于 (n-1) 次的 g(x) 倍式一定是码多项式;
- g(x) 的次数为 (n-k) ;
- g(x) 是 $x^{n}+1$ 的一个因子。
为了保证构成的生成矩阵 G 的各行线性不相关, 通常用生成多项式 g(x) 来构造生成矩阵; 若码多项式为降幂排列,
$$ \begin{array}{l} g(x)=g_{n-k} x^{n-k}+g_{n-k-1} x^{n-k-1}+\cdots+g_{1} x+g_{0}, r=n-k \\ C(x)=\mathbf{u G}(x)=(u_{k-1} u_{k-2} \cdots u_{0}) \mathbf{G}(x) \\ =u_{k-1} x^{k-1} g(x)+u_{k-2} x^{k-2} g(x)+\cdots+u_{0} g(x) \\ G(x)=[\begin{array}{c} x^{k-1} g(x) \\ x^{k-2} g(x) \\ \vdots \\ g(x) \end{array}] rightarrow G=[\begin{array}{ccccccccc} g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & & \vdots & & \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} \end{array}] \\ \end{array} $$
显然, 上式不符合 $\mathbf{G}=(\mathbf{I}_{k}: \mathbf{Q})$ 形式, 所以此生成矩阵不是典型形式。
系统码生成矩阵的构造
系统码-信息位在码字高位, 因此编码时需要先将信息位置于码字高位, 即 u(x) \bullet x^{n-k} 。 码字低位为校验位，如何获得?
$$ \begin{array}{c} c(x)_{\bmod g(x)}=0 \\ c(x)=u(x) \cdot x^{n-k}+r(x) \\ \mathbf{0}=\{[u(x) x^{n-k}]_{\bmod g(x)}+r(x)\} \end{array} \quad \stackrel{r(x)}{=}[u(x) x^{n-k}] \bmod g(x) $$
(2) 系统循环码
系统循环码的编码:
a. 选择一信息码多项式 $\mu(x)$ , 使 $\quad r(x)=x^{n-k} \mu(x) \bmod g(x)$
b. 产生系统循环码式$\mathrm{c}(x)=x^{n-k} \mu(x)+r(x)$
有一 (15, 11) 汉明循环码, 其生成多项式 $g(x)=x^{4}+x+1$ , 若输入信息分组为 (10010010010), 求出 (15,11) 系统循环码字。
解: $u(x)=x^{10}+x^{7}+x^{4}+x$
$$ \begin{array}{l} x^{n-k} u(x)=x^{4} u(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5} \\ r(x)=[x^{4} u(x)] \bmod g(x)=x^{2} \\ \therefore c(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5}+x^{2} \\ c=10010010010(0100)监督位 \end{array} $$
非系统码: $c(x)=u(x) g(x)=x^{14}+x^{10}+x^{7}+x^{4}+x^{2}+x$ c=1000100100101100
已知某循环码生成多项式为$g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$，那么采用此多项式生成循环码时，校验位有 [8] 位。
已知某循环码生成多项式为$g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$，证明该多项式是$x^{10}+1$的一个因式。 直接长除即可，这里不多赘述。
请写出生成多项式为$g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1$的系统型循环码 (10 ，2) 的码表。并说明该码至少能纠几位错。
$d_{\min }$=5, 能纠2位错
系统码的循环码生成矩阵
$$ G(x)=[\begin{array}{c} x^{n-1}+(x^{n-1})_{\bmod g(x)} \\ x^{n-2}+(x^{n-2})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ x^{n-i}+(x^{n-i})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ g(x) \end{array}]=[\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & r_{1,1} & r_{1,2} & \cdots & r_{1, n-k} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & r_{2,1} & r_{2,2} & \cdots & r_{2, n-k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & r_{k, 1} & r_{k, 2} & \cdots & r_{k, n-k} \end{array}] $$
某 (7,4) 循环码的生成多项式是 $g(x)=x^{3}+x+1$ , 求系统码的生成矩阵。
解：
$$ \begin{array}{l} (x^{6}) \bmod g(x)=x^{2}+1 \\ (x^{5}) \bmod g(x)=x^{2}+x+1 \\ (x^{4}) \bmod g(x)=x^{2}+x \end{array} \quad arrow G=[\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}] $$
循环码的监督 (校验) 矩阵
关系: $\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}^{T}=\mathbf{0}$ 。
a. 监督矩阵构造：由性质 $x^{n}+1=g(x) h(x)$ ;
$$ \begin{array}{l} h(x)=h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\ldots+h_{1} x+h_{0} \\ H=[\begin{array}{ccccccc} h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & \vdots & \\ 0 & 0 & \cdots & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} \end{array}] \\ \end{array} $$
b. 利用循环码的特点来确定监督矩阵 H :
由于 (n, k) 循环码中 g(x) 是 $x^{n+1}$ 的因式, 因此可令: $h(x)=\frac{x^{n}+1}{g(x)}=h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\cdots+h_{1} x+h_{0}$ 监督矩阵表示为:
$$ H(x)=[\begin{array}{c} x^{n-k-1} h^{*}(x) \\ x^{n-k-2} h^{*}(x) \\ \vdots \\ x h^{*}(x) \\ h^{*}(x) \end{array}] $$
$$ h^{*}(x)=h_{0} x^{k}+h_{1} x^{k-1}+h_{2} x^{k-2}+\cdots+h_{k-1} x $$
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.