有趣的图(四)(58)

小朋友们好，大朋友们好！

我是猫妹，一名爱上Python编程的小学生。

和猫妹学Python，一起趣味学编程。

今日主题

之前学过了图的基本概念和图的两种遍历算法

怎么样？

你学会了吗？

接下来，咱们学习下几种图的应用。

今天，咱们要学习的内容是：

什么是树

图的最小生成树算法

图和树

图，之前咱们已经学习过了。

在计算机中，什么是树呢？

树是图的子集，树是图，图不一定是树。

树是一种“层次”关系，图是“网络”关系。

树是一种特殊的图：

1. 一个无环的无向连通图，称之为树。

2. 由n个点、n-1条边组成的无向连通图，称之为树。

证明：

n个点要连通，至少需要n-1条边（无向边），而刚好n-1条边必然不能构成环（要构成环，至少有一个点的度数≥3），所以这是一棵树。

图可以有环，树没有环。

我们直观感受下：

图是两个集合 V 和 E 的集合，其中 V 是顶点的有限非空集，E 是边的有限非空集。 

• 顶点只不过是图中的节点。 

• 两个相邻的顶点由边连接。 

• 任何图都表示为 G = {V, E}。 

示例：G = {{V1, V2, V3, V4, V5, V6}, {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}}

树是一个或多个节点的有限集合，使得： 

• 有一个专门指定的节点，称为 root。 

• 其余节点被划分为 n>=0 不相交集 T1, T2, T3, …, Tn 

• 其中 T1, T2, T3, …, Tn 称为根的子树。

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图的最小生成树算法

最小生成树算法是用来求解一个图的最小生成树的算法。

比如，下图中的图产生了两个数，下左的权重和是15，下右的权重和是16。

所谓图的最小生成树，就是找到一棵树，其权重和最小。

常用的最小生成树算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。

Kruskal 算法的思想，简单来说，就是如果一个图有 n 个顶点，选出总权值最小并且不会构成回路的 n-1 条边使得图中的任意两个顶点都能通过这 n-1 条边中的若干条边连通。

对于 Kruskal 算法的实现，既然要选择选择 n-1 条边并且边的总权值最小，那么我们可以先对这个图的所有边按权值进行从小到大排序，然后依次选择边。

Prim 算法是一种贪心算法，用于在加权连通图中找到其最小生成树。

具体来说，我们从一个未被包含在最小生成树中的点开始，每次选择距离该点最近的未被包含在最小生成树中的点，并将它们连接起来形成一条边。

这样一直进行下去，直到所有的点都被包含在最小生成树中为止。

Prim 算法实现

1. 逻辑很简单，先选取一个起始节点，然后从其相邻的边种，选取权值最小的边进行连接。

2. 将新连接后的节点和之前的节点一起，从这些节点中选取权值最小的边进行连接。

3. 如此反复。知道所有的节点都被访问。

比如：

1. 和0连接的边中，权值分别为{10、28}，选取10。

2. 加入节点5，和节点{0,5}相邻的边有{25,28}，选取25。

3. 如此反复。

从几个权值中，选取一个最小的。

这个要怎么实现呢？

可以用Python中的heapq实现。

heapq库提供了一些函数，如heappush、heappop、heappushpop等，用于操作堆。

代码实现（完整代码，见同名公众号，次条推文）：

代码逻辑：

14行：s表示已经访问过的结点

15行：优先级队列，用于找一个最小权值

16行：res，实际生成的最小生成树路径

17行：边的数量比结点少一

18~19行：将当前结点相邻结点和权值放入队列

22行：从队列中选择一个权值最小的

23行：结点不能访问过，否则就不是树了

24行：保存当前结点

25行：保存当前路径

26行：更新当前结点

运行结果：

好了，我们今天就学到这里吧！

如果遇到什么问题，咱们多多交流，共同解决。

我是猫妹，咱们下次见！