密言
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完全信息动态博弈与子博弈精炼纳什均衡

首先，放一下完全信息动态博弈的定义：

博弈中信息是完全的，即双方都掌握参与者对他参与人的 战略 空间和 战略组合 下的 支付函数 有完全的了解，但行动是有先后顺序的，后动者可以观察到前者的行动，了解前者行动的所有信息，而且一般都会持续一个较长时期。

说人话就是：

参与双方不再是同时决策，有先后，并且当一方开始决策之前他可以知道已经发生了的决策

同时的决策像是这样的表

完全信息动态博弈与子博弈精炼纳什均衡_第1张图片

有先后的决策一般都画树

完全信息动态博弈与子博弈精炼纳什均衡_第2张图片

在上上图画表的决策过程都会有一个纳什均衡，而上图这种也有，不过不叫纳什均衡，有一个复杂点的名字，叫子博弈精炼纳什均衡

那怎么求呢

有两个参与者，我们根据后做选择的那个参与者来倒着求

举个例子

AB两人吃饭挑吃什么，A先选食材，B再选做法

A可以选羊肉和牛肉，如果选羊肉，B就可以选择喝羊肉汤或者羊肉饺子, 如果选牛肉，B就可以选择喝牛肉汤或者牛肉饺子。而且我们还知道，A喜欢吃饺子，B喜欢喝汤。

完全信息动态博弈与子博弈精炼纳什均衡_第3张图片

大概就这个样子，A选的时候他会怎么想呢？他知道不论选哪种肉，B都会选汤，自己不得不喝汤。假设A喜欢羊肉汤而非牛肉汤，喜欢牛肉饺子而非羊肉饺子。即使如此，A也不会因为喜欢牛肉饺子而选牛肉，因为B会拿牛肉去做汤，所以，A只好选羊肉去喝羊肉汤了。

在这个例子里，我们根据B喜欢喝汤的偏好才能猜出A最终的选择，也就是倒着推。这个例子或许并不严谨，纯粹是为了让读者更容易理解为什么采用倒推的思想来求均衡。

下面来个难点的题

两个寡头企业进行价格竞争，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。

a、b、c是常数。企业1的利润函数是:

企业2的利润函数是

求

(1)企业1先决策时的子博弈精练纳什均衡;

(2) a、b、c满足什么条件时企业1、2竞相抢先行动。

解：

(1).我们倒着推，因为企业1先决策，我们拿来企业2的式子，使其利润最大，对q求偏导并使之等于0

（至于为什么求偏导，建议先看一下我之前的一篇博客有提到：古诺模型里的纳什均衡）

得

代入到，得

对p求偏导并使之等于0，得

q即企业2选择的利润最大时的价格，而企业1能选择的使利润尽可能大的价格就是p

那么他们的子博弈精炼纳什均衡就是

(2).同理我们求出企业2先决策的子博弈精炼纳什均衡，拿来企业1的式子，使其利润最大，对p求偏导并使之等于0

得

代入得

对q求偏导并使之等于0，得

所以

然后我们就得到了两个企业分别先做决策时的均衡价格，再将对应价格代入利润公式就能求出利润，然后画表

企业1先做决策

企业2先做决策

然后我们要满足题意企业1、2竞相抢先行动

也就是说双方先做决策都比后做决策利润更高，即

化简一下得

又因为最大利润不会小于0，所以

完全信息动态博弈与子博弈精炼纳什均衡_第4张图片

这四个式子都分别大于0，化简后再考虑前两个a的条件，最终结果得

这些条件满足时，企业1、2竞相抢先行动

本题结束

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