算法函数_算法优化之内点法（障碍函数法）

内点法主要思想

1. 内点法在迭代中总是从内点出发，并保持在可行域内部搜索

2. 通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换成无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。

内点法适用范围

只能处理不等式约束

内点法实现思路

例如：

• 、
  是
  上连续的函数，
• 将可行域记作
  = {
  }
• 保持迭代点含于可行域内部的方法是定义障碍函数
• 其中
  是连续函数，当点
  趋向可行域边界时，
  无穷大
• 函数的两个重要的形式：
• 是很小的正数，这样，当
  趋向边界时，函数
  无穷大；否则，由于
  很小，则函数
  的取值近似
  。因此，可通过求解下列问题得到
  的近似解：

由于

的存在，在可行域形成“围墙”，因此

的解

比含于可行域的内部

• 仍是约束问题，但由于
  的阻挡作用是自动实现的，因此从计算的观点看，
  可当作无约束问题来处理

内点法计算步骤

• 显然，
  取值越小，
  的最优解越接近
  的最优解。但是，如果
  太小，则将给
  的计算带来很大的困难
• 因此，仍采取序列无约束极小化方法
  ，取一个严格单调递减且趋于零的罚因子（也叫障碍因子）数列{
  },对于每一个
  ,从内部出发，求解问题：

1. 给定初始内点
   ,允许误差
   ，初始参数
   ，缩小系数
   ,令
2. 以
   为初始点，求解无约束问题

设其极小点为

3. 若

,则停止计算，得到点

;否则，令

,令

,返回步2

具体案例

例：

令

用解析法求解：（其实就是高数中的求偏导并令其等于零）

由

式可得，

; 由

式可得，

,故：

当

时，

,

就是原问题的最优解。