AM@空间曲面@平面@面面位置关系@点面距离

曲面

• 空间解析几何中"曲面S"的三元方程$G:F(x,y,z)=0$的关系(含义)
  • S上的任意一点满足方程G
  • 不在S上的点,不满足方程G

曲线

• 可以将空间曲线看作是曲面的交线

  • 设2个曲面及其方程$S_1:F(x,y,z)=0$和$S_2:G(x,y,z)=0$

  • 它们的交线$C$的方程:

    • $$\begin{gathered} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{gathered}$$

平面

点法式方程

• 一个平面$\Pi$可以有一个位于$\Pi$上的点$M_0$及$\Pi$的法向量$\mathbf{n}=(A,B,C)$所确定

• 平面上的任意一条直线总是和平面的法向量垂直,利用这个关系,可以构造平面的方程

  • 平面上的任意一点$M(x,y,z)$,$M_{0}M=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$

  • 则$M_{0}M\cdot \mathbf{n}=0$即

    • $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

不共线的3点确定一个平面

• 三个点可以唯一确定三维空间中的一个平面

• 设给定三个点$M_1,M_2,M_3$构成的向量$M_1{M}_2,M_1{M}_3$不共线,则三点确定的平面$\Pi$的法向量可以由叉积确定:

  • $$\mathbf{n}=M_1{M}_2\times M_1{M}_3$$

  • 再从$M_{1\sim 3}$中任选一点和$\mathbf{n}$可以得到平面的点法式方程

方程同解

• 对于方程$F=G$和$A=B$,则$F+A=G+B$或$F+B=G+A$

平面方程的一般式

• 设方程$F(x,y,z)=0$,点$M_0=(x_0,y_0,z_0)$满足$F(x_0,y_0,z_0)=0$
  1. $Ax+By+Cz+D=0$
  2. $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$
  3. $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(由1,2两式相减)
• 根据方程的性质,方程1和3是同解的,而方程3的形式是平面的点法式方程
  • 方程3是过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$的且以$\mathbf{n}=(A,B,C)$为法向量的平面$\Pi$的点法式方程
• 可见,任意一个形如方程1的一元三次方程可以作为某个平面的方程,方程1称为平面的一般方程

特别情形

• 立体几何中
  • 平面$\Pi$与其外的直线$\mathbf{l}$平行的充要条件是$\Pi$中存在一条直线$t$满足$t//l$,即$\Pi$的法向量$\mathbf{n}\perp l$
  • 平面$\Pi$与其外的直线$\mathbf{l}$垂直的充要条件是$\mathbf{n}//\mathbf{l}$
• $D=0$时,方程1(记为$E_1$)表示一个通过原点的平面(此时$(0,0,0)$满足方程($E_1(D=0)$))

与坐标轴平行的平面

• 这里的平行包含了坐标轴位于平面上的情形
• $A=0$时,$E_1$退化为$E_1(A=0):By+Cz+D=0$此时方程仅剩下2个变量;此时平面上的任意点沿着$x$轴平移任意距离依然位于平面上,可见$E_1(A=0)$是一个平行于$x$轴的平面
  • 以平面法向量的角度来看,$E_1(A=0)$的法向量是$(0,B,C)$其特点是位于坐标面$yOz$上(和$x$轴垂直)
• $B=0$时,$E_1(B=0)$是一个平行于$y$轴的平面
• $C=0$时,$E_1(C=0)$是一个平行于$z$轴的平面

与坐标轴垂直@与坐标面平行的平面

• 若$A,B,C$中的2个为0,则平面平行于坐标面
• 例如A=B=0,平面的法向量为$(0,0,C)$平行于z轴,此时平面垂直于z轴(平行于坐标面)
  • 假设平面的法向量平行于z轴(设为(0,0,1),且平面过(1,1,1),方程为$z+D=0$,记为$S_1:z=-D$
    • 此时,所有位于满足$z=-D$的点都满足方程$S_1$
    • 可以判断,满足$S_1$的所有点构成一个平行于$xOy$坐标面的平面(或说垂直于$z$轴的平面)
  • 此时方程形如$Cz+D=0$
    • 假设点$(1,0,0)$位于该平面上,则$D=0$,因此$Cz=0$
      • 由于z=0,所以$C\in \mathbb{R}$
      • $Cz=0$,即$z=\frac{0}{C}=0$,$z=0$表示$xOy$坐标面
    • 假设点(1,1,1)位于该平面,$C+D=0$,$D=-C$,
      • 平面$xOy$的方程可以表示为$Cz-C=0$,方程两边同时除以$C$,得到$z-1=0$,即$z=1$

A=B=C=0

• 这种情况下,法向量变为$(0,0,0)$这是个零向量,其方向是任意的,此时方程变为$0=0$,不在表示平面

例

• 求过点$M(4,-3,-1)$和$x$轴的平面$\Pi$的方程
  • 设平面方程一般式为$Ax+By+Cz+D=0$
  • 由于$\Pi$过$x$轴,则$(0,0,0),(x_0,0,0),x_0\in \mathbb{R}$位于$\Pi$,所以$D=0$且$A{x}_0+0+0+0=0$,即$A=0$
  • 此时方程为$By+Cz=0$
  • 带入$M$,则$-3B-C=0$,即$C=-3B$
  • 从而$By+Cz=By-3Bz=0$,
    • 若$B\ne 0$对$By-3Bz=0$两边同除以$B$,得到$y-3z=0$
    • 若$B=0$,则方程为$0=0$不是一个平面
  • Note:
    • 由$x$轴位于平面$\Pi$上可知,$\Pi$的法向量$\mathbf{n}$在$x$轴上的投影为0
      • ${\text{Prj}}_{\mathbf{x}}\mathbf{n}=|\mathbf{n}|\cos <\mathbf{x},\mathbf{n}>=|\mathbf{n}|\cos \frac{\pi }{2}=0$(其中$\mathbf{x}$表示$x$轴)
      • 从而$A$

截距式

• 设平面$\Pi$与$x,y,z$轴的交点依次为$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$3点,求$\Pi$的方程

  • 设平面的方程为$Ax+By+Cz+D=0$

  • 将$P,Q,R$分别带入方程:

    • $$\begin{gathered} aA+D=0 \\ bB+D=0 \\ cC+D=0 \end{gathered}$$

  • 解得

    • $$\begin{gathered} A=-\frac{1}{a}D \\ B=-\frac{D}{b} \\ C=-\frac{D}{c} \end{gathered}$$

  • 从而$Ax+By+Cz+D=0$即为$-\frac{D}{a}x-\frac{D}{b}y-\frac{D}{c}z+D=0$,两边同乘以$\frac{-1}{D},D\ne 0$并移项,得到截距式

    • $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

两平面的夹角

• 这部分和高中数学内容向重合

• 两平面的夹角(通常记为$\theta$,$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$内的角)称为两平面的夹角

• 设平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$的法线向量依次为${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$,${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$

  • ${\theta }_1=<{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2>$,${\theta }_2=<-{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2>$,${\theta }_1+{\theta }_2=\pi$

• 记平面${\Pi }_1,{\Pi }_2$的夹角为$\theta =\min ({\theta }_1,{\theta }_2)$

  • 余弦函数满足$\cos \theta =-\cos (\pi -\theta )$

• 因此$\cos \theta =|\cos ({\theta }_1)|=|\theta ({\theta }_2)|$,也就是说,只要任意求出$\cos {\theta }_1或\cos {\theta }_2$,然后对其取绝对值就是$\theta$的余弦值

• 而$\cos {\theta }_i,i=1,2$的计算公式为

  • cos ⁡ θ = ∣ cos ⁡ θ i ∣ = ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ n 1 ∣ ⋅ ∣ n 2 ∣ ∣ = ∣ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ∣ A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 \cos\theta=|\cos\theta_i| =\left| \frac{\boldsymbol{n_1\cdot n_2}}{\boldsymbol{|n_1|\cdot |n_2|}} \right| =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} cosθ=∣cosθi​∣= ​∣n1​∣⋅∣n2​∣n1​⋅n2​​ ​=A12​+B12​+C12​ ​A22​+B22​+C22​ ​∣A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​∣​

  • 注意,该公式和两向量的夹角余弦公式的区别在于外围增加了一层"绝对值号"

• 

两平面的位置关系

• 借助夹角来判断两个平面的平行和垂直关系

垂直关系

• 两个平面垂直,夹角$\theta =\frac{\pi }{2}$,则$\cos \theta =0$,根据$\cos \theta$的公式(上一节介绍的),$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

平行关系

• 两个平面平行,夹角为$0$或$\pi$,则$\cos \theta =\pm 1$,即$|\cos \theta |=1$

  • ∣ ∣ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ∣ A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 ∣ = 1 ( A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ) 2 = ( A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 ) ( A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 ) A 1 2 A 2 2 + B 1 2 B 2 2 + C 1 2 C 2 2 + 2 ( A 1 A 2 B 1 B 2 + A 1 A 2 C 1 C 2 + B 1 B 2 C 1 C 2 ) = A 1 2 A 2 2 + A 1 2 B 2 2 + A 1 2 C 2 2 + B 1 2 A 2 2 + B 1 2 B 2 2 + B 1 2 C 2 2 + C 1 2 A 2 2 + C 1 2 B 2 2 + C 1 2 C 2 2 2 ( A 1 A 2 B 1 B 2 + A 1 A 2 C 1 C 2 + B 1 B 2 C 1 C 2 ) = A 1 2 B 2 2 + A 1 2 C 2 2 + B 1 2 A 2 2 + B 1 2 C 2 2 + C 1 2 A 2 2 + C 1 2 B 2 2 A 1 2 B 2 2 + A 1 2 C 2 2 + B 1 2 A 2 2 + B 1 2 C 2 2 + C 1 2 A 2 2 + C 1 2 B 2 2 − 2 A 1 A 2 B 1 B 2 − 2 A 1 A 2 C 1 C 2 − 2 B 1 B 2 C 1 C 2 = 0 \left| \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \right|=1 \\ (A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2)^2=(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2) \\\\ A_1^2A_2^2+B_1^2B_2^2+C_1^2C_2^2+2(A_1A_2B_1B_2+A_1A_2C_1C_2+B_1B_2C_1C_2) \\=A_1^2A_2^2+A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2B_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2+C_1^2C_2^2 \\\\ 2(A_1A_2B_1B_2+A_1A_2C_1C_2+B_1B_2C_1C_2) \\=A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2 \\\\ A_1^2B_2^2+A_1^2C_2^2+B_1^2A_2^2+B_1^2C_2^2 +C_1^2A_2^2+C_1^2B_2^2 \\-2A_1A_2B_1B_2-2A_1A_2C_1C_2-2B_1B_2C_1C_2=0 ​A12​+B12​+C12​ ​A22​+B22​+C22​ ​∣A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​∣​ ​=1(A1​A2​+B1​B2​+C1​C2​)2=(A12​+B12​+C12​)(A22​+B22​+C22​)A12​A22​+B12​B22​+C12​C22​+2(A1​A2​B1​B2​+A1​A2​C1​C2​+B1​B2​C1​C2​)=A12​A22​+A12​B22​+A12​C22​+B12​A22​+B12​B22​+B12​C22​+C12​A22​+C12​B22​+C12​C22​2(A1​A2​B1​B2​+A1​A2​C1​C2​+B1​B2​C1​C2​)=A12​B22​+A12​C22​+B12​A22​+B12​C22​+C12​A22​+C12​B22​A12​B22​+A12​C22​+B12​A22​+B12​C22​+C12​A22​+C12​B22​−2A1​A2​B1​B2​−2A1​A2​C1​C2​−2B1​B2​C1​C2​=0

  • 可得$(A_1{B}_2-A_2{B}_1{)}^2+(A_1{C}_2-A_2{C}_1{)}^2+(B_1{C}_2-B_2{C}_1{)}^2=0$

  • 根据平方和为0的性质:$\sum f_i^2=0\iff f_i=0$

    1. $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$,即$A_1{B}_2=A_2{B}_1$,
    2. $A_1{C}_2-A_2{C}_1=0$,即$A_1{C}_2=A_2{C}_1$
    3. $B_1{C}_2-B_2{C}_1=0$,即$B_1{C}_2=B_2{C}_1$

  • 若$A,B,C\ne 0$(或说$ABC\ne 0$)

    • 两边乘以$\frac{1}{A_2{B}_2}$,式1形式变换为$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$类似的,可以得到$\frac{A_1}{A_2}=\frac{C_1}{C_2}$,$\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

  • 因此$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

    • 虽然使用这个形式有$ABC\ne 0$的条件,但是如果已知${\Pi }_1,{\Pi }_2$的法向量满足该式,则${\Pi }_1//{\Pi }_2$
    • 在同济高数教材中,分母为0的情况用注脚做出了说明,约定在遇到分母为0的时候不再将其解释为除法(除以0),而是将分子视为0处理

例

• 平面$\Pi$通过$M_1(1,1,1),M_2(0,1,-1)$两点,${\Pi }_0:x+y+z=0$,有关系$\Pi \perp {\Pi }_0$,求$\Pi$
  • 利用待定系数法求解
    • 思路1:
      • 设$\Pi$的方程为$Ax+By+Cz+D=0$
      • 法向量为$\mathbf{n}=(A,B,C)$
      • 由$M_{1,2}$在$\Pi$上可知:$A+B+C+D=0$,$B-C+D=0$,两式相减$A+2C=0$
      • 可求解出$E_1:A=-2C$
    • 思路2:设$\Pi$的法向量为$\mathbf{n}=(A,B,C)$
      • $\mathbf{m}=M_1{M}_2=(-1,0,-2)\in \Pi$,所以$\mathbf{n}\perp \mathbf{m}$
      • 从而$\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$,即$-A+0-2C=0$
      • 可以解出$E_1:A=-2C$
  • ${\Pi }_0$的法向量为${\mathbf{n}}_0=(1,1,1)$,由$\Pi \perp {\Pi }_0$关系和上节中的结论:$\mathbf{n}\cdot {\mathbf{n}}_0=0$,即$E_2:A+B+C=0$
  • 将$E_1$带入$E_2$,得$B=C$;此时$\mathbf{n}=(A,B,C)=(-2C,C,C)$
  • 取$M_1$为点法式的点,构造方程$A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0$,即$-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0$
  • 对两边同时除以C($C\ne 0$),则$-2(x-1)+y-1+z-1=0$即$-2x+y+z=0$,即$2x-y-z=0$

点到平面的距离

• 

• 设$P_0(x_0,y_0,z_0)$是平面$\Pi :Ax+By+Cz+D=0$外一点,求$P_0$到$\Pi$的距离$d$

  • 设平面的法向量为$\mathbf{n}$,其朝向记为${\mathbf{d}}_1$,$-\mathbf{n}$也是$\Pi$的法向量,其朝向记为${\mathbf{d}}_2$

  • 我们只需要讨论其中的一种情况,另一种情况由于条件的对称性,同理,具有相同的结论

  • 下面讨论点$P_0$位于${\mathbf{d}}_1,{\mathbf{d}}_2$侧时的情形

    • 将位于${\mathbf{d}}_1$侧时的$P_0$,记为$P_{01}$,位于${\mathbf{d}}_2$侧时记为$P_{02}$

    • 分析可知,法向量$\mathbf{n}$和$P_1{P}_{01}$的夹角${\theta }_1\in (0,\frac{\pi }{2})$,$\mathbf{n}$和$P_1{P}_{02}$的夹角为${\theta }_2\in (\frac{\pi }{2},\pi )$

    • 距离分别记为$h_1=|P_1{P}_{01}|\cos {\theta }_1$和$h_2=|P_1{P}_{02}|\cos (\pi -{\theta }_2)=|P_1{P}_{02}|(-\cos {\theta }_2)$

    • 其中$\cos {\theta }_2<0$,即$-\cos {\theta }_2>0$,从而$h_2=|P_1{P}_{02}||\cos {\theta }_2|$

    • 另一方面,$\cos {\theta }_1>0$,即$|\cos {\theta }_1|=\cos {\theta }_1$,从而$h_1=|P_1{P}_{01}|\cos {\theta }_1=|P_1{P}_{01}||\cos {\theta }_1|$

    • 从而$h_1,h_2$的计算公式形式一致,因此点$P_0$到$\Pi$的距离公式为:

    • $$h=|P_1{P}_0||\cos \theta |$$

小结

• $P_1{P}_0=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$

  • $$\begin{gathered} h=|P_1{P}_0||\cos \theta |=|P_1{P}_0|\frac{|P_1{P}_0\cdot \mathbf{n}|}{|P_1{P}_0||\mathbf{n}|} \\ =\frac{|P_1{P}_0\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} \end{gathered}$$

• 带入坐标式:

  • $$\begin{gathered} h=\frac{|(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot (A,B,C)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A{x}_0-A{x}_1+B{y}_0-B{y}_1+C{z}_0-C{z}_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\ =\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{gathered}$$

• 由于$P_1\in \Pi$,所以$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$,即$-(A{x}_1+B{y}_1+C_z)=D$

• 所以

  • $$h=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

例

• 点$P(2,1,1)$到$\Pi :x+y-z+1=0$的距离:

  • $$h=\frac{|2+1-1+1|}{\sqrt{1+1+1}}=\sqrt{3}$$