矩阵分析笔记

1.线性映射与线性变换在某基下的矩阵表示为A，特征值和特征向量意味着线性变换对特征向量进行操作不改变此向量所在的方向，并且可以通过分析矩阵A的特征值和特征向量的分布情况分析，特征空间中的对线性变换的不变线性子空间

线性变换所对应的矩阵为A，对A进行相似变换得到B=P-1AP，则B为此线性换在另一组基上的矩阵表示，且两组基的过度矩阵为P。新的一组基=老的一组基*P  

线行变换的特征值和特征向量不随所选取基底的变化而变化。

矩阵可相似对角化的条件是此矩阵的每一个特征值的代数重数等于几何重数， 矩阵可相似对角化也意味着矩阵是满秩的， 如果线性变换所对应的矩阵A可相似对角化，那么意味着真个线性空间是此线性变换的线性不变子空间。

如果此矩阵不能相似对角化，那么可以相似成Jordan矩阵，根据其相似的Jordan矩阵可对此线性变换的线行不变子空间进行分析。

可以通过求矩阵A的初等因子，然后直接写出矩阵A对应的Jordan矩阵，矩阵A可对角化的充要条件是此矩阵的初等因子的都是一次的。

相似矩阵的求法  可以直接设P=[x1,x2,……,xn]硬算，也可以根据Jordan矩阵的块的维数对矩阵P进行分块求解，产生许多个方程组，但是每一个方程组的解需要进行人为控制使方程组有解。

      求Jordan矩阵时，需要引入λ矩阵进行分析，λ矩阵的Smith标准型是唯一的，不变因子唯一，相互等价的λ矩阵的各阶行列式因子相等。

     两个λ矩阵等价的充要条件是它们的的不变因子相同，或各阶行列式相等，或秩相等且初等因子相等。 

     两个矩阵相似的充要条件是λ−~(−)，或λ−≃−，所以两矩阵相似的充要条件是两矩阵具有相同的不变因子，但是因为λ−与−肯定满秩，即秩相等，所以λ−≃−的充要条件是具有相等的初等因子即可。

1.基{}的度量矩阵

2.Hermite矩阵  = 酉空间的度量矩阵是Hermite矩阵，欧式空间的度量矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵是Hermite矩阵

3.反Hermite矩阵 =− 

4.酉矩阵   ==   则   =−1

 设∈×,则A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量。

5.酉变换（或正交变换） ,酉变换定义在酉空间中，正交变换定义在欧式空间中。

（（）,（））=（,）     ||（）||=|||| ，

 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）

 酉变换（或正交变换）将V的标准正交基变换至标准正交基

6.幂等矩阵  2=

7.投影变换     n维酉空间 =⨁ ，n维酉空间V中任意一个向量均可唯一地表示为：=+ ,其中，∈  ∈ ，则称 是 沿T至S的投影， 是 沿S至T的投影。某一向量沿不同的子空间向同一个线性子空间中的投影是不一定相同的。

设是n维酉（欧式）空间V的线性变换，则以下命题是等价的：

（1）是V上的投影变换

（2）（（）⋂（））=

（3）V=（）⨁（）

（4）

（5）此线性变换的矩阵表示满足，A为幂等矩阵。

正交投影， 将线性空间V中的某一个向量 投影到相互正交的两个子空间中的某一个空间的投影变换，由于某空间的正交补空间是唯一，不需要什么沿哪一个空间向某个空间投影，投影结果是唯一的 。

正交投影将n维线行空间中的向量投影到r维子空间中，此正交投影在V的标准正交基下的矩阵表示，其中， 为次酉矩阵。

设A为秩为r的n阶矩阵，则 的充要条件是存在n×接矩阵  ,满足。

 这也就意味着正交投影变换在标准正交基下的矩阵表示是幂等矩阵，同时也是Hermite矩阵。

9.Schur 引理 任何一个n阶复矩阵A酉相似于一个上（下）三角矩阵

Schur 不等式

正规矩阵    对角阵、Hermite矩阵、反Hermite矩阵、酉矩阵都是正规矩阵

设A为正规矩阵，则与A酉相似的矩阵都是正规矩阵

设A是正规矩阵，且A是三角矩阵，则A是对角阵

A是正规矩阵的充要条件是存在n维酉矩阵使得

正规矩阵可酉对角化

正规矩阵A有n个线性无关的特征向量

正规矩阵属不同特征值的特征子空间相互正交

10.假设欧式空间（酉空间）中的一个线性变换为对称变换（Hermite变换）对于任意,∈,都有((),)=(,())

如果线性空间是的不变子空间，那么也为的不变子空间

假设欧式空间（酉空间）中的一个线性变换为反对称变换（反Hermite变换）

 对于任意,∈,都有((),)=−(,())

如果线性空间是的不变子空间，那么也为的不变子空间.

 

幂等的Hermite变换是正交投影变换。

 

Hermite变换在标准正交基上的矩阵为Hermite矩阵，

反Hermite变换在标准正交基上的矩阵为反Hermite矩阵 

变换的伴随变换,

 

正规变换 

在任意一个标准正交基下的矩阵是正规矩阵

欧式空间上的正交变换，对称变换，反对称变换，酉空间上的的酉变换，Hermite变换，反Hermite变换都是正规变换。

酉空间上的正规变换，存在某个标准正交基，该正规变换在这个标准正交基上的矩阵为对角阵。

Hermite矩阵偶在复相合下的标准形