2022-02-18-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题19）
设,,记为的最大素因数.
证明:存在无穷多个,使得
证明
我们从每一个奇素数出发找一个满足条件的.
注意到,对任意,,从而由平方差公式结合数学归纳法可证:
中任意两个数没有相同的奇素因数,而这些数都不是的倍数.所以,存在,使得
取满足的最小正整数,令,我们断言:
事实上,,而是满足的最小正整数,故,又,由知.
上述讨论表明:对每个奇素数,都有一个(显然,不同的对应的是不同的)满足条件,而奇素数有无穷多个,故满足条件的有无穷多个.
2022-02-18-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题20）
设,,记为的不同素因数的个数.
证明:存在无穷多个,使得
证明
引理若,且不是的方幂,则.
事实上,若,为素数,,写,,,为奇数.分两种情形:
(1),则由知,此时,是3的倍数,且,若,则,此时,两边,知,从而为偶数,记,则,而与是相邻偶数,其积为2的幂,只能是,得,,矛盾.故时,引理成立.
(2),此时,利用因式分解知.若,则为素数,此时,设,即,.两边,利用二项式定理,可知,进一步,设,,由二项式定理,可知
右边最后一项为的倍数,但不是的倍数,而其余每一项都是的倍数.故上式不能成立.所以时,引理也成立.
利用上述引理,可知当且不是2的方幂时,有.下证:存在无穷多个这样的,使.
事实上,若只有有限个上述,使.则存在,对每个都有.于是,有
这要求,这里是最初的个素数.但是,矛盾.所以,命题成立.
2022-02-18-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P096 习题21）
用表示前个素数之和.
证明:对任意,区间中至少有一个完全平方数.
证明
设素数从小到大的排列为 .则.
当时,直接验证,可知命题成立.现设时命题成立,即存在正整数,使得,取其中最大的,记为,则,而.这里.
写,则当时,利用相邻两个奇素数至少差2可知
从而,,即.于是.所以,命题对的情形亦成立.
综上可知,对一切,命题成立.