2、瑞丽-伯纳德对流的拉格朗日拟序结构（FTLE场结果对比）

在上篇博客中，我简单比较了瑞丽伯纳德对流的FTLE场，但是因为粒子追踪采用的是欧拉方法，所以精度不是很高， 因此与文献中的结果还是有些差别。
下面放一张文献中的FTLE场，参数与上篇文章是一致的，Ra = 1e8;Pr = 1;

本文将详细的介绍如何得到这样的图片，好吧，其实也不是很详细。总之，先展示以下我个人的结果。

可以看出，上图基本上与文献是一致的，因为这里展示的是瞬时场，所以当然不可能是完全一致，至于提取的LCS结构，我在下面也会提及。

本着详细介绍的原则，所以这里我很良心的从流场计算开始介绍。粒子迁移需要时空离散的流场数据。流场的网格是很好确定的，我这里是DNS，所以网格尺度小于$\eta$就行。比较重要的是时间步长应该取多少。

1、流场时间步长

首先，根据我的计算参数，我得到流场的无量纲时间$t_f=1.13s$。根据文献，$t_E=7t_f=7.9s$
即一个turn over time（大涡转一圈的时间）。因为积分时间选取为$1/2t_E$，所以我这里就凑个整，总共计算8s，积分时间选择4s，然后又凑个整，时间步长分别选取为0.1和0.05，总共为80个和160个时间步，时间步肯定是越小越好，但是存储量也会迅速上升，这里后面会比较这两个时间步得到的结果。
上面我放的图是dt=0.05得到的结果，我们先来以这个为例。

2、积分时间

这个其实文献里已经比较清楚了，我这里还是啰嗦一句。讲一讲如何获得
turn ove time 大涡转一圈的时间，$t_E=4\pi /<w_c{>}_t$
我们知道，涡量，也就是速度的旋度，它还等于角速度的两倍，不会的可以去翻书，再不会放弃流体力学吧。这里的思想就是，将转动的大涡看成是一个刚体，所以用中心处的角速度来作为大涡整体的角速度。所以根据这个我们可以得到$t_E$。
注意，这里的$w_c$，是有量纲的，即$T^{-1}$，我们需要对其乘以一个$t_f$来对其进行无量纲化，这样才能得到无量纲的$t_f$。这一点文献中没提，但基本上大家都是默认这样操作。

我这里也对文献中的数据进行了验证，分别计算了努塞尔数和$t_E$。结果其实还行，因为本身统计时间太短了，没有考虑统计稳态，统计收敛这些问题。
结果放在这里，供大家参考。
计算0-8时刻内的努塞尔数
Nu:25.35 文献值：25.29
tE：7.202612960718049 文献值： 7.0；

2.1、积分时间的影响

文献中指出，积分时间大于tE时，FTLE场的差别其实不大，下面来看一下我的计算结果。
积分时间：3.6s，见下图

积分时间：4s:见第二张图。
积分时间：5s,见下图

可以看出基本的形状是没有发生什么变化的，只不过因为积分时间过长，FTLE的值会变小，这是由于计算FTLE时需要除以时间。

但是基本的结论与文献是保持一致的，这里通过比较发现其实t=3.6s和4s时的结果是比较好的，积分时间为5s能看到有些地方不是那么清晰，可能是由于粒子推进误差的问题。

3、粒子个数的问题

在计算FTLE场时，初始放置的粒子不一定要与网格数保持一致，是可以自由确定的。
我们固定积分时间为4s，即0.5tE，看一下粒子数对FTLE场计算的影响。
粒子数512*512，与流场网格保持一致，如下图

粒子数600600 如下：

粒子数700700 如下（即第二张图）：

可以看出，随着粒子数的增加，其实变化不大，这里粒子数主要影响的是FTLE场的光滑程度，如果粒子太少，可以明显看出场中许多粗糙的地方。我额外做了一组
粒子数：256*256，结果如下图

可以明显看出分辨率下降。

4、流场数据时间间隔的影响

流场数据的时间间隔直接决定了粒子追踪的精度。
这里我们对比dt = 0.1s和dt = 0.05s的结果
注意，上面展示的都是基于dt=0.05s的结果。
这部分我们依然固定FTLE(2),，积分时间：4s，粒子数固定为512*512；

dt = 0.1的结果，如下图：

dt=0.05的结果（依然是第二幅图），如下图：

好吧，其实dt=0.1s的结果还说的过去，我本来以为会很差的，结果基本上跟dt=0.05s是一致的，可以看出我编写的粒子追踪的程序精度还是可以的。那以后就按dt=0.1s算吧这样节省了一倍的内存。

5、提取LCS结构

最后的最后，我们在来讨论一下从FTLE场提取LCS结构，即拉格朗日脊。
这里主要有两种方法，我们就拿dt-0.1;FTLE(2),积分时间4s,粒子数目512*512的结果来讨论吧。

5.1 shadden方法

该方法是由shadden提出的。
简单粗暴。
$$FTLE>c$$
所有大于c的网格处的保留，其余的赋，即可得到LCS结构，其实我们的直觉也差不多是这样。
这个主要是根据经验需要调个参，但是效果其实还行。
下图是按这种方法提取的

5.1 文献方法

$$\mathrm{FTLE}(x,y)-⟨\mathrm{FTLE}{⟩}_x>c{\mathrm{FTLE}}_{r.m.s.}.$$
也有个参数需要调，但是这里人家告诉你了,c=1,2时结果还行，至少在文献中。
并且放了一张对比图。

可以看出也确实还行。但是我对此图表示怀疑。因为文章下面的图就不是这样的了。

可以看出，明显侧壁的结构要粗很多，并且上下壁面也感觉有些缺失，这是因为与该课题组另一篇文章中的结果差别比较大。

上下两幅图仅有流场Pr一个是0.7，一个是1，其实对流场的影响不大，但是由同样的方法提取处的LCS差距却着实比较大，明显后一个要更好一点。

下面来看看我利用该方法提取的LCS.（c=0.7）

怎么说呢，我感觉是有问题的，侧壁明显多了一些FTLE场中看不出的结果。
我们来分析一下他这个方法，大于rms这一项没毛病，其实可以把这一项看成c也无妨，问题主要是在$⟨\mathrm{FTLE}{⟩}_x$，这个项上。
我的理解是在x方向的平均，也就是对于每个高度Y，取切片的平均，但是问题在于，FTLE场明显可以看出，中间高度位置处的FTLE平均明显是要小的，我们可以绘制$⟨\mathrm{FTLE}{⟩}_x$沿高度的变化。

确实是这样，那么在计算时，侧壁处的将会更容易被识别成LCS.。。。
所以造成了这种情况。我们当然可以提高c值。c=1.2时，即文献中的值时结果如下

可以看出，上下边界处的一些结果是被忽略掉的。这里我不知道是不是我理解有问题，反正确定怪怪的，这种方法。

插一句，如果我理解的x坐标和他的不一样，即我试了一下在y方向取平均的结果
结果是，平均场的分布是类似的，都是中间小，两头大。

并且提取的结果上下壁面会变多，侧壁会变少

对此，我很怀疑

这种方法能提取出这种结构，但是好像确实这个上下壁面有缺失。
哎呀。。。好烦。。。

感觉还是第一种更加使用，不知道这个单方向求平均的意义在哪。。。