高数基础6

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导数与微分

导数的定义式：

导数的第二个定义式：

左右导数

区间内可导

例题：

 例题2：

 微分

微分的概念

例题：

 导数的几何意义：

切线方程与法线方程 

例题：

连续可导可微之间的关系

 导数公式与求导法则：

 求导法则：

 导函数的奇偶数

 隐函数求导

 反函数导数

 参数方程求导法

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导数与微分

导数的定义式：

 

 上图表示的是函数的改变量比上自变量改变量。

表示的函数在这一区间邻域的平均变化率，再取极限表示在这一点的瞬时变化率。

导数就是函数在某一点的变化率。

导数的第二个定义式：

 由此我们可以得出结论：函数在某一点的导数与函数在这一点的函数值是有关的。

左右导数

 

 

  函数在某一点可导的充要条件是函数在这一点的左右导数都存在且相等

区间内可导

 在开区间可导的意思：函数在区间(a,b)内全部都有导数。

在闭区间可导的意思：函数在区间(a,b)内全部有导数并且函数在a点有左导数，b点有右导数。

导函数的定义：有函数的导数值构成的函数。

例题：

 

 解法2：我们知道，1点的左导数值与1点的函数值和1点的左半邻域是有关的，1点函数值和1点的左半邻域都满足第一个式子，所以左导数就是第一个式子求导数带入1即可。

 而对于1点的右导数，1点的右导数与1点的函数值与右半邻域有关，他们不满足一个式子，所以我们需要用定义来求1点的右导数。

我们也可以求1的右极限，发现1的右极限并不等于1这一点的函数值，证明函数在1这一点是非右连续，所以就没有右导数。

 例题2：

 

 微分

微分的概念

微分就是函数改变量的近似值。

 可导必可微。

 微分就等于函数在这一点的导数乘以自变量的微分。

例题：

  

 导数的几何意义：

 函数在某一点的导数等于该函数所成的曲线在该点的斜率。

 有切线并不能推出可导，例如：

 对于该函数，当x=0时，有切线，平行于Y轴，斜率为无穷，但是导数是一个极限值，极限值为无穷表示极限值不存在。

切线方程与法线方程 

 法线是切线的负倒数。

例题：

 

 相互垂直的两条曲线，他们的斜率互为负倒数。

连续可导可微之间的关系

 连续不一定可导，可导一定连续，我们可以把可导理解为光滑，光滑的曲线一定是连续的，但是连续的曲线不一定是光滑的，例如：

 在x等于0这一点，函数的左右导数不相等，所以在这一点不可导。

可导和可微是等价的，所以对于连续与可微之间的关系，我们可以类比可导与连续。

可微一定连续，但是连续不一定可微。

 导数公式与求导法则：

 求导法则：

 导函数的奇偶数

 隐函数求导

 

 反函数导数

反函数导数等于原来函数导数的倒数。

 参数方程求导法

 二阶导数就是一阶导数再对X求导。