算法分析03--动态规划

4.动态规划法

4.1 动态规划的基本思想

动态规划算法与分治法类似， 其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题， 先求解子问题， 然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是， 适合用动态规划法求解的问题， 经分解得到的子问题往往不是独立的。若用分治法来解这类问题， 则相同的子问题会被求解多次， 以至于最后解决原问题需要耗费指数级时间。然而， 不同子问题的数目常常只有多项式量级。如果能够保存已解决的子问题的答案， 在需要时再找出已求得的答案， 这样就可以避免大量的重复计算， 从而得到多项式时间的算法。为了达到这个目的， 可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到， 只要它被计算过， 就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中， 可能会有许多可行解， 每个解都对应于一个值， 我们希望找到具有最优值（最大值或最小值）的那个解。
设计一个动态规划算法， 通常按照以下几个步骤进行。

(1) 找出最优解的性质， 并刻画其结构特征。
(2) 递归地定义最优解的值。
(3) 以自底向上的方式计算出最优值。
(4) 根据计算最优值时得到的信息， 构造一个最优解。
动态规划法是一个非常有效的算法设计技术， 那么何时可以应用动态规划来设计算法呢？对于一个给定的问题， 若其具有以下两个性质， 可以考虑用动态规划法来求解。
(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解， 就说该问题具有最
优子结构。当一个问题具有最优子结构时， 提示我们动态规划法可能会适用， 但是此时贪心策略可能也是适用的。
(2) 重叠子问题。重叠子问题指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题， 而不
是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时， 就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解， 则每次遇到子问题都会视为新问题， 会极大地降低算法的效率， 而动态规划法总是充分利用重叠子问题， 对每个子问题仅计算一次， 把解保存在一个在需要时就可以查看的表中， 而每次查表的时间为常数。

4.2 动态规划的典型实例

4.2.1 0-1背包问题

有n个物品， 第1个物品价值为V_i,重量为w_i， 其中v_i和w_i均为非负数， 背包的容量为W,
W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品， 使装入背包的物品总价值最大。
满足约束条件的任一集合（x₁, …,x_n) 是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。

例题1，背包容量为10，物品重量分别为2，3，4，5；价值为3，4，5，6，求背包中能装下物品的最大价值。

物品分别编号为1，2，3，4，列表如下：

物品/容量	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3
2	0	3	4	4	7	7	7	7	7	7
3	0	3	4	5	7	8	9	9	12	12
4	0	3	4	5	7	8	9	10	12	13

由表可知，表中每一个元素的值取决于它正上方的值和它左上角的值，
如果当前背包容量小于物品重量，那么当前物品不放入背包；如果当前背包容量大于物品重量，那么当前物品可以放入背包，也可以不放入背包，取它左上角和放入物品后价值的最大值。

java代码如下：

public class knapsack01 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {2,3,4,5};
        int[] value = {3,4,5,6};
        int w = 10;
        knapsack(weight,value,w);
    }

    public static void knapsack(int[] weight,int[] value,int w){
        int n = weight.length;
        int[][] dp = new int[n+1][w+1];
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=w;j++){
                //如果当前背包容量小于物品重量，那么当前物品不放入背包
                if(j0&&l>0){
            if(dp[k][l] == dp[k-1][l]){
                k--;
            }else {
                System.out.println("选择了第"+k+"个物品，重量为："+weight[k-1]+"，价值为："+value[k-1]);
                l = l - weight[k-1];
                k--;
            }
        }
    }
}

上述代码的时间复杂度为O(nw)，n为物品个数，w为背包容量

4.2.2 最长公共子序列LCS

如果用穷举法求解该问题， 列举出X的所有子序列， 一一检查其是否是Y的子序列， 并随时记录所发现的公共子序列， 最终求出最长公共子序列， 时间复杂度为0(2^mn)， 是指数级的时间复杂度， 对千长序列来说不可行。而动态规划法可以有效地求解最长公共子序列问题。
求解思路：假设有字符串x，其索引范围为0-i，字符串y，其索引范围为0-j，那么最长子序列长度为dp[i][j]，如果两个字符串最末尾的元素x[i]=y[j]相等，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1,如果两个字符串最末尾的元素x[i]=y[j]不相等，则有两种情况。情况1，dp[i][j]=dp[i-1][j]，情况2，dp[i][j]=dp[i][j-1]，这两种情况需要取其最大者，因此dp[i][j]=max{dp[i-1][j]，dp[i][j-1]}。

public class LongestCommonSubsequence {
    public static void main(String[] args) {
        String x = " ABCBDAB";
        String y = "BDCABA";
        lcs(x,y);
    }
    public static void lcs(String x,String y){
        int xlen = x.length();
        int ylen = y.length();
        int[][] maxSub = new int[xlen+1][ylen+1];
        //初始化数组第一列
        for(int i=0;i<=xlen;i++){
            maxSub[i][0] = 0;
        }
        //初始化数组第一行
        for(int j=0;j<=ylen;j++){
            maxSub[0][j] = 0;
        }
        for(int i=1;i<=xlen;i++){
            for(int j=1;j<=ylen;j++){
                //若末尾元素相等，则最长公共子序列长度加1
                if(x.charAt(i-1)==y.charAt(j-1)){
                    maxSub[i][j] = maxSub[i-1][j-1]+1;
                //若末尾元素不相等，则最长公共子序列长度为两个子序列中较长的那个
                }else {
                    maxSub[i][j] = Math.max(maxSub[i-1][j],maxSub[i][j-1]);
                }
            }
        }
        System.out.println(maxSub[xlen][ylen]);
        int j = xlen;
        int k = ylen;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        //从后往前遍历，找出最长公共子序列
        while(j>0 && k>0){
            if(x.charAt(j-1)==y.charAt(k-1)){
                sb.append(x.charAt(j-1));
                j--;
                k--;
            }else {
                if(maxSub[j-1][k]>maxSub[j][k-1]){
                    j--;
                }else {
                    k--;
                }
            }
        }
        //因为从后往前遍历，所以需要反转字符串
        System.out.println(sb.reverse().toString());
    }
}