耶鲁大学 博弈论(Game Theory) 笔记1

耶鲁大学 博弈论(Game Theory) 笔记1

博弈论主要研究策略形势即不完全竞争情况，策略形势被定义为行为影响结果，但结果不仅自身行为也取决于其他人的行为。

summary

成绩游戏

不向你的邻居展示你在做什么，在表格上写下$\alpha$或$\beta$，你可以把它看作是一个成绩评价。我们将随机将你的表格与另一张表格配对。你和你的同伴都不知道你是和谁配对的。以下是本课程的成绩分配方法：

1. 如果你填$\alpha$而你的搭档填$\beta$，那么你会得到A级，你的搭档会得到C级。
2. 如果你和搭档都填$\alpha$，那么你们会得到B-。
3. 如果你填$\beta$而你的搭档填$\alpha$，那么你会得到C级，你的搭档会得到A级。
4. 如果你和搭档都填$\beta$，那么你们会得到B+。

这些可能的选择被称为“`策略”，可以表达为如下形式：

一个理性的人在成绩游戏中应该选择什么策略

我们首先需要知道那个人关心什么：收益的每个结果对这个人产生什么影响。博弈论不能告诉我们应该分配多少收益结果。其取决于偏好（和道德情感？）不仅仅是你，还有你的对手。一旦收益是公知信息，博弈论就能显示出更多内容。

可能的收益：evil git

如果每个玩家都是一个邪恶的家伙，那么每个玩家都只关心自己的等级(例如假设她更喜欢a而不是B等等)，其收益可能如下：

如果我的同伴选择了$\alpha$，此时我选择$\alpha$带来的收益为0，选择$\beta$带来的收益为-1。如果我的同伴选择了$\beta$，此时我选择$\alpha$带来的收益为3，选择$\beta$带来的收益为1.

定义： 如果选择策略$\alpha$的结果严格优于选择策略$\beta$，在不考虑其他人选择的情况下，$\alpha$相对于$\beta$是严格优势策略。
额外定义： 如果策略$\alpha$和策略$\beta$收益相同，在不考虑其他人选择的情况下，至少会出现一次选择是策略$\alpha$支配了策略$\beta$。

Lesson1 永远不要选择严格劣势策略
在知道收益规则后，同伴也会选择$\alpha$。我们最终都会得到0分，尽管有双方都得到1分的更好结果。
Lesson2 理性玩家的理性游戏可能导致坏的结果
像这样的游戏被称为 “囚徒困境”。

其他可能收益：indignant angels

与所有玩家都是邪恶的情况不同的是
假设每个人不仅关心自己的成绩，而且还关心与她配对人的成绩。每个玩家都是indignant angels(愤怒天使)，她想要得到A，但她感到内疚，因为这是以她的搭档得到C为代价的，愧疚使她的回报从3降至-1。相反，如果她得到了C，而她的配对得到了A，那么愤怒就会把回报从1降到-3。

和以前一样，如果我同伴选择了$\alpha$，那么我选择$\alpha$将会比选择$\beta$所得到的收益更高。如果我同伴选择了$\beta$，那么我选择$\beta$将会比选择$\alpha$所得到的收益更高。

在这种情况下没有严格支配策略，最佳选择 取决于我认为我的同伴可能会做什么。

Lesson3 在判断选择什么动作前，清楚自身的收益以及其他玩家的收益。

The Evil Git versus the Indignant Angel

如果我是Evil Git但是同伴是Indignant Angel的情况下，收益将变成如下形式：

我的策略$\alpha$相对于$\beta$是严格优势策略，因此我应该选择策略$\alpha$。

The Indignant Angel versus the Evil Git

如果我是Indignant Angel但是同伴是Evil Git的情况下，收益将变成如下形式：

我的两种策略都没有支配对方。但是，我同伴的策略$\alpha$相对于$\beta$是严格优势策略。因此，如果我知道她是理性的，那么我知道她会选择策略$\alpha$。在这种情况下，我应该选择策略$\alpha$（以得到0>-3）。

Lesson4 如果你没有占优势的策略，那就站在别人的立场上去分析他们会怎么做。

如果我不知道我对手的收益怎么办？

如果我是Evil Git，我的策略$\alpha$相对于$\beta$是严格优势策略，因此我会选择$\alpha$。如果我是Indignant Angel，取决于我认为人口中的Evil Git和Indignant Angel的比例如何。