【算法】Minimum Cost to Connect Two Groups of Points 连通两组点的最小成本 动态规划

Minimum Cost to Connect Two Groups of Points 连通两组点的最小成本 动态规划

问题描述：

略

size1,size2范围[1,12] ，size1>=size2 ,$cost[i][j]$ 范围[0,100]

分析

$$dfs(i,bitmaskSet)=\min dfs(i-1,bitmaskSet\setminus bitk)+cost[i][bitk]$$

$$dfs(-1,bitmaskSet)=\Sigma mincost[bitk],bitk\in bitmaskSet$$

之前是暴力递归+记忆化，现在要改为自底向上的动态规划。所以构建动态规划的状态转移方程f[][]其意义与dfs相同，则对应的转移方程为
$f[i][bitmaskSet]=\min (f[i-1][bitmaskSet\setminus itk]+cost[i][bitk])$
根据之前的递归的i是可以小于0的，但是这里就会发生越界。最简单的方法就是整体偏移。
$f[i+1][bitmaskSet]=min(f[i][bitmaskSet\setminus bitk]+cost[i][bitk])$
而且当i==0的时候，处于边界，表示所有节点都已经完成连接，此时还有bitmaskSet的元素需要连接。
所以需要枚举$2^n-1$个组合，来对$f[0][bitmaskset]$进行初始化。

代码

class Solution {
    public int connectTwoGroups(List<List<Integer>> cost) {
        int m = cost.size(), n = cost.get(0).size();
        int[] mincost = new int[n];
        Arrays.fill(mincost, Integer.MAX_VALUE);
        for (int j = 0; j < n; j++){
            for (var c : cost){
                mincost[j] = Math.min(mincost[j], c.get(j));
            }
        } 
        int[][] f = new int[m + 1][1 << n];
        for (int bitmaskset = 1; bitmaskset < 1 << n; bitmaskset++){
            for (int k = 0; k < n; k++){
                if ((bitmaskset >> k & 1) == 1){
                    // 第二组的点 k 未连接
                    f[0][bitmaskset] += mincost[k]; // 去第一组找个成本最小的点连接
                } 
            }                
        }        
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int bitmaskset = 0; bitmaskset < 1 << n; bitmaskset++) {
                int res = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = 0; k < n; k++) // 第一组的点 i 与第二组的点 k
                    res = Math.min(res, f[i][bitmaskset & ~(1 << k)] + cost.get(i).get(k));
                f[i + 1][bitmaskset] = res;
            }
        }
        return f[m][(1 << n) - 1];
    }
}
 

时间复杂度O(mn2^n)

空间复杂度O(m2^n)

代码模板来源于灵神大佬，结构清晰，逻辑完整。

Tag

Bit Manipulation Bitmask Dynamic Programming