快速幂_first

信息学奥赛一本通–6.数学基础(提高篇)-1.快速幂

1615：【例 1】序列的第 k 个数

【题目描述】
BSNY 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。现在给你序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第 k
项的值吗。 如果第 k
项的值太大，对 200907
取模。

【输入】
第一行一个整数 $T$，表示有 $T$ 组测试数据；

对于每组测试数据，输入前三项 $a,b,c$，然后输入 $k$。

【输出】
对于每组数据输出第 $k$ 项的值，对 200907 取模。

【输入样例】

2
1 2 3 5
1 2 4 5

【输出样例】

5
16

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define IOS {std::ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);}
#define x first
#define y second
#define int long long
#define end(x) {cout<<x<<'\n';return ;}
#define endy {cout<<"YES\n";return ;}
#define endn {cout<<"NO\n"; return }
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int N =2*1e5+10;

string s;int n,x,y,i,j,k,l,r;float f;
int d;
int a[N],b[N];
struct node{
    int x,i;
};
void solve();
void solve(){
    int m=200907;
    for(i=1;i<=3;i++){cin>>a[i];}
    bool flag=(a[2]-a[1]==a[3]-a[2]);
    if(flag){
        cin>>x;
        d=a[2]-a[1];
        cout<<(a[1]+(x-1)*d)%m<<endl;
    }
    else {
        cin>>x;x-=1;
        int q=a[2]/a[1];
        int ans=1;
        while(x){
            if(x&1)ans=(q%m * ans%m)%m;
            q = (q%m * q%m)%m;
            x>>=1;
        }
        cout<<(a[1]%m*ans%m)%m<<endl;
    }
}

signed main(){
    IOS
    int _=1;
    cin>>_;
    while(_--)solve();
}

1616：A 的 B 次方

【题目描述】
给出三个整数 $a,b,m$，求 $a^{b}modm$
的值。

【输入】
一行三个整数 $a,b,m$。

【输出】
一个整数，表示 $a^{b}modm$
的值。

【输入样例】

2 100 1007

【输出样例】

169

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define IOS {std::ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);}
#define x first
#define y second
#define int long long
#define end(x) {cout<<x<<'\n';return ;}
#define endy {cout<<"YES\n";return ;}
#define endn {cout<<"NO\n"; return }
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int N =2*1e5+10;

string s;int n,x,y,i,j,k,l,r;float f;
int d;
int a[N],b[N];
struct node{
    int x,i;
};
void solve();
void solve(){
    int m;
    cin>>x>>y>>m;
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans = (ans%m * x)%m;
        x = (x%m * (x%m))%m;
        y>>=1;
    }
    cout<<ans;
}

signed main(){
    IOS
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)solve();
}

1617：转圈游戏

【题目描述】
$n$ 个小伙伴（编号从 0 到 n−1）围坐一圈玩游戏。按照顺时针方向给 $n$个位置编号，从 $0$ 到 $n-1$。最初，第 $0$ 号小伙伴在第 $0$ 号位置，第 1 号小伙伴在第 1 号位置，……，依此类推。

游戏规则如下：每一轮第 0 号位置上的小伙伴顺时针走到第 $m$ 号位置，第 1 号位置小伙伴走到第 $m+1$ 号位置，……，依此类推，第 $n-m$ 号位置上的小伙伴走到第 0 号位置，第 $n-m+1$ 号位置上的小伙伴走到第 1 号位置，……，第 $n-1$ 号位置上的小伙伴顺时针走到第 $m-1$ 号位置。

现在，一共进行了 $10^k$ 轮，请问 $x$ 号小伙伴最后走到了第几号位置。

【输入】
输入共 1 行，包含 4 个整数 $n、m、k、x$，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出】
输出共 1 行，包含 1 个整数，表示 $10^k$ 轮后 $x$ 号小伙伴所在的位置编号。

【输入样例】

10 3 4 5

【输出样例】

5

题解：

第一轮：x号走到 $(m+x)modn$的位置
x -> (m+x)%n
经过$10^k$轮
x -> (10^k * m + x)%n
所以要求 $10^k$
x -> (10^k%n * m + x)%n

#include 
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define IOS {std::ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);}
#define x first
#define y second
#define int long long
#define end(x) {cout<<x<<'\n';return ;}
#define endy {cout<<"YES\n";return ;}
#define endn {cout<<"NO\n"; return }
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int N =2*1e5+10;

string s;int n,x,y,i,j,k,l,r;float f;
int d;
int a[N],b[N];
struct node{
    int x,i;
};
void solve();
void solve(){
    int m;
    cin>>n>>m>>k>>x;
    //x -> (m+x)%n
    //x -> (10^k * m + x)%n
    //x -> (10^k%n * m + x)%n
    int ans=1;int q=10;
    while(k){
        if(k&1)ans = (ans%n * q%n)%n;
        q = (q%n * q%n)%n;
        k>>=1;
    }
    cout<<(ans%n * m + x)%n;
}

signed main(){
    IOS
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)solve();
}

1618：越狱

【题目描述】
原题来自：HNOI 2008

监狱有连续编号为 1 到 $n$ 的 $n$ 个房间，每个房间关押一个犯人。有 $m$ 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

【输入】
输入两个整数 $m$ 和 $n$。

【输出】
可能越狱的状态数，对 100003 取余。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

6

题解：

总共的情况 $m^n$
不能越狱的情况 $m\ast (m-1{)}^x,x=n-1$
缘由 ：考虑 第一间 $m$ 第二间和第一间不同 $m-1$，第三间和第二间不同$m-1$…以此类推
特殊情况 $m=1$，那么只有一种情况，而且必越狱
坑点：$m^n$ 和 $m\ast (m-1{)}^x,x=n-1$ 的相对大小不能确定！需要做最后处理

#include 
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define IOS {std::ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);}
#define x first
#define y second
#define int long long
#define end(x) {cout<<x<<'\n';return ;}
#define endy {cout<<"YES\n";return ;}
#define endn {cout<<"NO\n"; return }
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef long long ll;
const int N =2*1e5+10;

string s;int n,x,y,i,j,k,l,r;float f;
int d;
int a[N],b[N];
struct node{
    int x,i;
};
void solve();
void solve(){
    int m;
    cin>>m>>n;

    int n_t=n,m_t=m;
    int mm=100003;

    if(m==1)end(1)
    //m m-1 m-1 m-1
    //m m-1 m-1
    int ans=1;
        // (m-1)^(n-1)
        k=(m-1);
        int nk=n-1;
        while(nk){
            if(nk&1)ans = (ans%mm * k%mm)%mm;
            k = (k%mm * k%mm)%mm;
            nk>>=1;
        }
        ans = (ans%mm * m%mm)%mm;
    //m^n

    int all=1;
    m=m_t;n=n_t;
    while(n){
        if(n&1)all = (all%mm * m%mm)%mm;
        m = ( m%mm * m%mm )%mm;
        n>>=1;
    }
    cout<<(all-ans+mm)%mm;//!!!!注意

}

signed main(){
    IOS
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)solve();
}