在ABAQUS中开发材料模型（UMAT）的通用框架：基于Fortran的大变形本构行为的3D实现方法

前言

随着计算力的增强，有限元方法（FEM）已经成为研究和开发新的材料行为模型的重要手段。ABAQUS作为一款广泛使用的有限元分析软件，其提供的用户材料子程序（User Material Subroutine, UMAT）接口，为用户开发自定义材料模型提供了方便。而Fortran语言因其在科学计算中的广泛应用，也常被选作开发UMAT的主要编程语言。

在本文中，我将向读者介绍一种在ABAQUS中开发UMAT的通用框架，此框架使用Fortran编写，并主要针对连续介质力学中的大变形本构行为的3D实现。该框架已被成功应用于生物软组织和细胞的多种特定材料定律的建模，读者可以参考文末给出的参考文献列表，了解具体的应用案例。

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本文主要面向有经验的生物力学和连续介质力学研究人员。但是，只要您具备基本的Fortran编程知识和一定的力学背景，我相信您也可以从本文中受益。

第一部分：框架介绍

在开发UMAT的过程中，我们通常需要处理的是如何将材料的本构方程（即描述材料应力-应变关系的方程）转化为计算机代码。而对于连续介质力学中的大变形问题，这一任务会变得更为复杂，因为我们需要处理的不再是小应变和小旋转，而是大应变和大旋转。这时，我们就需要引入一些数学工具，例如张量代数和非线性有限元理论，以便更好地处理这些问题。

对于这一挑战，我们设计了一种通用框架，以便将这些理论转化为计算机代码。具体来说，我们在Fortran中实现了一套处理张量代数的子程序库，并基于此设计了处理大变形本构行为的UMAT框架。

下面，我将首先介绍这套张量代数子程序库。

张量代数子程序库主要包括如下几个部分：

1. 张量基本运算：包括张量的加法、减法、乘法等基本运算。
2. 张量的指标运算：包括对张量进行升指标、降指标等运算。
3. 张量的分解和重构：包括将张量分解为对称部分和反对称部分，以及从对称部分和反对称部分重构张量。
4. 张量的旋转：包括对张量进行旋转操作。

以下是一些基本的示例代码：

! 张量加法示例
SUBROUTINE TensorAdd(Tensor1, Tensor2, Result)
    IMPLICIT NONE
    REAL, DIMENSION(3,3), INTENT(IN) :: Tensor1, Tensor2
    REAL, DIMENSION(3,3), INTENT(OUT) :: Result
    
    INTEGER :: i, j
    DO i = 1, 3
        DO j = 1, 3
            Result(i,j) = Tensor1(i,j) + Tensor2(i,j)
        END DO
    END DO
END SUBROUTINE TensorAdd

! 张量分解示例
SUBROUTINE TensorDecompose(Tensor, Symmetric, Antisymmetric)
    IMPLICIT NONE
    REAL, DIMENSION(3,3), INTENT(IN) :: Tensor
    REAL, DIMENSION(3,3), INTENT(OUT) :: Symmetric, Antisymmetric
    
    INTEGER :: i, j
    DO i = 1, 3
        DO j = 1, 3
            Symmetric(i,j) = 0.5 * (Tensor(i,j) + Tensor(j,i))
            Antisymmetric(i,j) = 0.5 * (Tensor(i,j) - Tensor(j,i))
        END DO
    END DO
END SUBROUTINE TensorDecompose

以上代码给出了张量加法和张量分解的示例。实际的子程序库当然更为复杂，包括更多的功能和优化的实现。但是，这些代码已经足够展示我们的基本思路：我们希望通过封装基本的张量运算，以便在后续的UMAT开发中能够更专注于本构方程的实现，而不用过于关注底层的数学运算。

在张量代数子程序库的基础上，我们设计了处理大变形本构行为的UMAT框架。该框架主要包括两部分：一部分是处理有限元计算的公共部分，例如更新应力和应变、处理刚度矩阵等；另一部分是用户需要自定义的部分，例如材料的本构方程和相关的参数。

这种设计使得我们可以将有限元的公共部分和材料模型的特定部分分离开来，从而使得开发UMAT更为方便。具体来说，用户只需要将关注点放在自己感兴趣的材料模型上，而无需关心底层的有限元实现。此外，我们还提供了一些模板代码，以帮助用户快速入门。

以上便是我们的框架的基本介绍。在下一部分，我将详细介绍如何使用这个框架开发UMAT。

第二部分：UMAT开发入门

在本部分中，我将通过一个简单的例子，说明如何使用我们的框架开发UMAT。

本例中，我们假设我们要实现的是一个简单的线性弹性材料模型。该模型的应力-应变关系为：

σ = E * ε

其中σ为应力，ε为应变，E为材料的弹性模量。

对于这样一个简单的模型，我们只需要在框架提供的模板代码的基础上，填写本构方程和材料参数即可。

首先，我们在UMAT接口中声明材料参数：

SUBROUTINE UMAT(STRESS, STATEV, DDSDDE, SSE, SPD, SCD, RPL, DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, STRAN, DSTRAN, TIME, DTIME, TEMP, DTEMP, PREDEF, DPRED, CMNAME, NDI, NSHR, NTENS, NSTATV, PROPS, NPROPS, COORDS, DROT, PNEWDT, CELENT, DFGRD0, DFGRD1, NOEL, NPT, LAYER, KSPT, KSTEP, KINC)
    IMPLICIT NONE
    CHARACTER*80 :: CMNAME
    INTEGER :: NDI, NSHR, NTENS, NSTATV, NPROPS, NOEL, NPT, LAYER, KSPT, KSTEP, KINC
    REAL :: PREDEF(1), DPRED(1), TIME(2), DTIME, TEMP, DTEMP, PROPS(NPROPS), COORDS(3), DROT(3,3), PNEWDT, CELENT, DFGRD0(3,3), DFGRD1(3,3)
    REAL :: STRESS(NTENS), STATEV(NSTATV), DDSDDE(NTENS,NTENS), DDSDDT(NTENS), DRPLDE(NTENS), DRPLDT, STRAN(NTENS), DSTRAN(NTENS), SSE, SPD, SCD, RPL

    ! 材料参数
    REAL :: E
    E = PROPS(1)

然后，我们在适当的位置填写本构方程：

    ! 本构方程
    STRESS = E * STRAN

这样，我们就完成了一个简单的UMAT的开发。

当然，对于更复杂的材料模型，例如考虑非线性或者耗散效应的模型，我们可能需要写更多的代码。但是，只要我们遵循框架的规范，我们可以很容易地将这些模型实现在UMAT中。

第三部分：进阶技巧

虽然我们的框架已经尽力使得UMAT的开发变得简单，但是在实际的开发过程中，我们仍然可能会遇到一些挑战。在这一部分，我将分享一些我在开发过程中积累的经验和技巧，希望对读者有所帮助。

调试技巧

在开发UMAT时，我们可能会遇到各种各样的问题，例如运行结果与预期不符，甚至程序崩溃。这时，我们就需要进行调试。虽然Fortran不像一些现代编程语言提供了强大的调试工具，但是我们仍然可以通过一些简单的方法找到问题的原因。

首先，我们可以通过添加打印语句，输出我们关心的变量的值。例如，我们可以在本构方程的前后添加打印语句，输出应变和应力的值，以此检查本构方程是否正确。

    ! 本构方程
    PRINT *, 'Before: STRAN = ', STRAN
    STRESS = E * STRAN
    PRINT *, 'After: STRESS = ', STRESS

其次，我们可以通过编译器提供的调试选项，查找可能的运行时错误。例如，我们可以开启数组越界检查，查找是否有超出数组范围的访问。

最后，我们可以通过一些特殊的手段，查找复杂的问题。例如，我们可以使用二分法，通过逐步缩小可能的问题区域，找到问题的具体位置。

以上就是我在开发UMAT时积累的一些调试技巧，希望对读者有所帮助。

结语

通过以上的介绍，我希望读者对我们的UMAT开发框架有了初步的了解，并能够开始自己的UMAT开发工作。虽然我们的框架并不能解决所有的问题，但是我们相信，它能够在很大程度上简化UMAT的开发过程，使得更多的研究人员能够利用ABAQUS进行复杂材料模型的研究。

最后，祝愿您在UMAT的开发之旅中一切顺利！