包子凑数【动态规划；数学；完全背包】

题目

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放 A i个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 (1≤N≤100)。
以下 N 行每行包含一个整数 A i (1≤A i ≤100)。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

示例1

输入

2
4
5

输出

6

样例说明
凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例2

输入

2
4
6

输出

INF

样例说明
所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

分析

1. 首先分析一下什么时候凑不出来的数量是 inf ，什么时候不是 inf：
   设有方程ax+by=c，其中a，b是笼子能放的包子数目，x，y是笼子的数量，c是能够组合成的包子数量。
   假设a，b满足：gcd(a,b)=d，即：(a/d )*(d*x) +(b/d)*(d*y) = c
   我们令：m=a/d，n=b/d，就得到：m*d*x+n*d*y=c --> d*(m*x+n*y)=c，这说明得到的c可以被d整除，c是d的整数倍。

此时

如果d>1，比如d=3，那得到的c必然只能是3的倍数，此时所有不是3的倍数的包子都凑不出来，结果是 inf。

如果d=1，那得到的c必然是1的倍数，此时所有是1的倍数的包子都可以凑出来(在x和y可以是负数的情况下)，结果不是inf。

因为笼子的数量不能是负数，所以当c大于某一个值时，以后的值都可以凑出来，而小于这个值时，存在凑不出来的情况，这个凑不出来的数目就是我们接下来要求的值。
对于ax+by+...+cz=c，当gcd(a,b,..,z)=1时，结果是非inf。

2. 动态规划求解：
   完全背包问题：有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用，第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
   很像完全背包问题：有 N 种物品，第 i 种物品的体积是 vi，这些物品的任意次组合恰好可以填满体积是多少的背包。
   解法：一维dp
   设状态数组dp[]。dp[i]=1表示容量为i的背包可以被恰好填满，dp[i]=0表示容量为i的背包不可以被恰好填满。
   状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], dp[i-wk]) ，k = 1,2,...,n,且i>wk 。

python代码

import math
n = int(input())
num = []
for i in range(n):
    num.append(int(input()))

num.sort() # 排序

# dp的最大长度,根据推算以99，100为例子，如果在maxlo*maxlo时还没有达到连续，那以后也不会连续
N = num[-1]*num[-1]+1
# 状态数组dp[i]表示i个包子能否由已有的笼组成,0表示不能，1表示能
dp = [0 for i in range(N)]
dp[0] = 1 # 初始化0个包子可以由0个笼子组成，也是成立的
def gcd(li):
    """求最大公因数"""
    g = li[0]
    for i in li:
        g = math.gcd(g,i)
    return g
"""
# 本来用的解包来向math.gcd()传递参数,但是蓝桥杯的python版本不支持解包，每次一用就报错
def gcd(li):
    return math.gcd(*li)
"""
if gcd(num)>1: # 如果num里面的数的最大公因数大于1
    print("INF")
else:
    """ 否则计算有多少数字不能表示"""
    # 首先利用dp计算能表示那些数
    for i in range(N): # 从dp[0]到dp[maxdp]
        for dig in num: # 状态转移方程种的wk项
            if dig >i:
                break
            dp[i] = max(dp[i],dp[i-dig])

    # 然后把总的数减去能表示的数就是不能表示的数
    print(N-sum(dp))

Java代码

package demo.test1;
import java.math.BigInteger;
import java.util.*;
public class test1 {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int[] num = new int[n];//放笼子的容量的数组
		for(int i=0;i<n;i++) {
			num[i] = sc.nextInt();
		}
		sc.close();
		Arrays.sort(num);//给num排一下序
		int N = num[n-1]*num[n-1];//dp数组的最大容量
		int dp[] = new int[N];//定义dp
		dp[0]=1;//初始化dp[0]=1
		//求num里面数字的最大公因数
		BigInteger g = BigInteger.valueOf(num[0]);
		for(int i=0;i<n;i++) {
			BigInteger t = BigInteger.valueOf(num[i]);
			g = g.gcd(t);
		}
		if(g.intValue()>1) {
			System.out.println("INF");
		}else {//状态转移方程：dp[i]=max(dp[i],dp[i-num[j])
			for(int i=0;i<N;i++) {
				for(int j=0;j<n;j++) {
					if(num[j]>i) {
						break;
					}
					dp[i]=Math.max(dp[i], dp[i-num[j]]);
				}
			}
			int sum = Arrays.stream(dp).sum();
			System.out.println(N-sum);
		}

	}

}