出场人物介绍
小美：小学4年级学生，参加了学校的编程兴趣小组，已经了解了Python语言的基本语法，能够看懂一些简单的程序。她做事风风火火，对所有的事情都很好奇，喜欢打破砂锅问到底，是一个叫人又爱又恨的小丫头。
阿福：一个酷爱编程的8年级男生。大家都说他长得像国宝大熊猫，动作缓慢，憨态可掬。他做事情确实够慢的，连说话也慢条斯理，可是他一点也不担心，他常常说：“慢就是快，只要坚持下去，蜗牛也能爬上金字塔。”
古老师：虽然年近不惑，但依然对生活充满热情。“爱生活爱运动”是他的人生信条，和孩子们一起编程是他最大的乐趣。他神出鬼没，总是在孩子们最需要帮助的时候出现。当然，你也不能动不动就找古老师，因为他很忙，非常非常忙。所以，遇到问题还是自己先思考吧。
算法进化历程之灯泡开关
阿福：最近古老师让我到力扣（leetcode）网去刷题，我遇到了一个很有趣的题目。
小美：是吗？赶快拿出来瞧瞧。
题目1：
灯泡开关。
n个灯排成一排，依次编号为1-n，开始时都是关着的。现进行如下操作： 第 1 轮，所有电灯的按钮按动一次；第2 轮，所有编号为2的倍数的电灯按钮按动一次；第3轮，所有编号为3的倍数的电灯的按钮按动一次；……第n 轮，所有编号为n的倍数的电灯的按钮按动一次。最后请统计 n 轮后有多少只电灯是亮的。
函数功能：统计 n 轮后有多少只电灯是亮的。
函数名：bulbSwitch(n:int)-> int
参数表：n-- 灯的数量。
返回值： n 轮后亮着的灯的数量。
示例1：n=3，则返回1。
解释：初始时，灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭]；第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启]；
第二轮后，灯泡状态 [开启, 关闭, 开启]；第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]。
故第3轮后，只有编号为1的灯泡是亮的。
示例2：n=10，则返回3。
解释：第10轮后，编号为1,4,9的灯泡是亮的。
小美：我感觉这道题不难啊，用模拟算法就能解决。我们可以分别用0和1表示灯泡的暗亮状态，然后模拟整个开关灯过程，最后统计值为1的元素个数。
代码1：
def bulbSwitch(n: int) -> int:
a = [0] * (n + 1) #初始时所有灯泡均关闭
for i in range(1, n + 1):
for j in range(i, n + 1, i): #只处理i的倍数
a[j] = 1 - a[j] #实现0和1的相互转换
return sum(a)#对列表a求和，即统计值为1的元素个数
阿福：这个思路简单直接。我一开始也是这样想的，可是提交代码以后，系统判定超时。
小美：超时？那说明我们的算法效率太低了。可是我已经尽可能对代码进行优化了啊。
阿福：没错，如果使用模拟算法的话，你的代码已经写得很好了。可是模拟算法本身就不是高效的算法。这道题目要用到一些数学知识。
小美：数学知识？
阿福：没错，就是数学知识。请你仔细观察一下，n轮操作下来，编号为i的开关切换的次数与i有什么关系？例如当n=10时，编号为6的开关总共切换了几次？分别是在第几轮被切换过？
小美：当n=10时，编号为6的开关在第1轮、第2轮、第3轮和第6轮被切换过，总共切换了4次。
阿福：编号为9的开关呢？
小美：当n=10时，编号为9的开关在第1轮、第3轮和第9轮被切换过，总共切换了3次。
阿福：看出规律来了吗？
小美：规律？哦，我看出来了。编号为i的开关切换的次数恰好为i的因数个数。
阿福：没错，正是这样！我们可以根据编号i的因数个数来判断灯的暗亮状态，若i的因数个数为奇数，则最后该灯亮。
小美：道理是没错，但怎么判断i的因数个数是奇数还是偶数呢？
阿福：你再观察一下6和9的因数分布情况。
小美：我发现了，因数都是对称分布的。例如，6=1*6=2*3，9=1*9=3*3。i的因数以平方根为轴对称分布，成对出现。如果i是完全平方数，它的因数有奇数个（因为平方根只能和自己配对），否则就是偶数个。
阿福：没错，n轮操作下来，只有编号为完全平方数的灯泡亮，我们就只需统计有多少个完全平方数就行了。代码如下：
代码2：
def bulbSwitch2(n: int) -> int:
s = 0
for i in range(1, n + 1):
sqr = int(i ** 0.5)
if i == sqr * sqr: #统计完全平方数的个数
s += 1
return s
小美：阿福真棒！
阿福：唉，当时我也觉得自己挺棒的。可代码提交以后，系统仍判定超时。
小美：这都不行啊？难道还有什么更高效的方法吗？会不会是因为开根号的操作太耗时了？
阿福：我也猜测是这个原因。可不开根号还能怎么办呢？
古老师：阿福，你采用的是枚举算法，那你还记得枚举算法要考虑的因素是哪几个吗？
小美：这个我知道！枚举算法要考虑的因素有枚举变量，枚举范围和枚举条件。
古老师：不错，那在这个题目中，它们分别是什么呢？
阿福：枚举变量是i，枚举范围是[1, n]，枚举条件是判断i是否为完全平方数，通过计算i的平方根sqr来判断枚举条件是否成立。
古老师：是啊，这个算法中最耗时的地方就是计算sqr的值。那你们有没有想过逆向思维，枚举sqr，利用sqr来求i呢？
小美：逆向思维？枚举sqr？哦，我想到了！可以从1开始递增sqr的值，判断sqr *
sqr是否小于等于 n，最后sqr的值就是完全平方数的个数。
阿福：不对， sqr的值减一才是正解，因为最后一个sqr已经不满足条件了。
小美：没错，是要减一。还是阿福考虑周到。
代码3：
def bulbSwitch3(n:int) -> int:
sqr = 1
while sqr * sqr <= n:
sqr += 1
return sqr - 1 #最后一个sqr已经不满足条件了
阿福：哇，通过了！还战胜了62.72%的用户呢。
古老师：不错不错！看来你对完全平方数已经有一定的了解了。
小美：一定的了解？难道我们研究的还不够透彻吗？
古老师：应该说研究得比较透彻了。但请你再仔细观察一下，[1, n]范围内的完全平方数个数与n到底有什么关系呢？
小美：这还有关系？
阿福：我把n和[1, n]范围内的完全平方数个数s组成一个元组(n, s)，列举了[1, 20]范围内的(n, s)值如下，(1, 1),(2, 1),(3, 1),(4, 2),(5, 2),(6, 2),(7, 2),(8, 2),(9, 3),(10, 3),(11, 3),(12, 3),(13, 3),(14, 3),(15,3),(16, 4),(17, 4),(18, 4),(19, 4),(20, 4)。小美，你发现有什么规律没有？
小美：规律？我看到了，只有当n等于完全平方数的时候，s的值才会增加。
阿福：没错！而且s的值恰好等于n的平方根。
小美：那就好办了！代码简单得很！
代码4：
def bulbSwitch4(n:int) -> int:
return int(n ** 0.5) #[1, n]范围内的完全平方数个数恰好为其平方根
古老师：果然是高手啊，观察力一流！看你们这么厉害，我就再给你们出一道题目吧。题目不难，就是把上一题稍微改动一下。
题目2：
哪些电灯是亮的。
n个灯排成一排，依次编号为1-n，开始时都是关着的。现进行如下操作： 第 1 轮，所有电灯的按钮按动一次；第2 轮，所有编号为2的倍数的电灯按钮按动一次；第3轮，所有编号为3的倍数的电灯的按钮按动一次；……第n 轮，所有编号为n的倍数的电灯的按钮按动一次。最后请输出 n 轮后有哪些电灯是亮的。
函数功能：输出 n 轮后有哪些电灯是亮的。
函数名：bulbSwitch(n:int)-> list
参数表：n-- 灯的数量。
返回值：一个存储了所有亮灯编号的列表。
示例1：n=10，则返回[1, 4, 9]。
示例2：n=30，则返回[1, 4, 9, 16, 25]。
小美：好像没什么区别嘛。
阿福：区别还是有的，需要输出具体哪些电灯是亮的。这样一来就不能直接套用数学公式了。
古老师：虽然不能直接套用数学公式，但是前面总结的数学规律还是有用的。也别想得太复杂，其实只要把前面的代码1、2、3修改一下就行了。好了，我只能说这么多了，剩下的自己去琢磨吧。拜拜咯。
彩蛋：
小美：只要把代码1、2、3修改一下就行了？
阿福：没错，前面我们做的是统计工作，现在只要把每个亮灯的编号都存储起来就行了。这样吧，你修改代码1，我来修改代码2和代码3。
小美：好的，没问题。
代码4：
分别用0和1表示灯泡的暗亮状态，然后模拟整个开关灯过程，最后输出值为1的元素
def bulbSwitch4(n:int) -> list:
a = [0] * (n + 1) #初始时所有灯泡均关闭
for i in range(1, n + 1):
for j in range(i, n + 1, i):
a[j] = 1 - a[j]
return [i for i in range(n + 1) if a[i] == 1]
代码5：
编号为完全平方数的灯泡亮，枚举i，计算sqr
def bulbSwitch5(n:int) -> list:
res = []
for i in range(1, n + 1):
sqr = int(i ** 0.5)
if i == sqr * sqr:
res.append(i)
return res
代码6：
编号为完全平方数的灯泡亮，枚举sqr，存储sqr*sqr
def bulbSwitch6(n:int) -> list:
res = []
sqr = 1
while sqr * sqr <= n:
res.append(sqr * sqr)
sqr += 1
return res