模态反馈控制

模态反馈控制

  • 1. 模态的概念
  • 2. 模态反馈控制的思想及控制量 u u u设计
  • 3. 模态反馈控制举例

1. 模态的概念

模态是系统中的某个子运动(相对于整体运动而言),系统整体的动态特性是由一个个子运动所组成的(可以类比于空间中的向量基的概念)。

显然,对于某个系统,其运动由特征方程的极点来决定,而不同的极点(如 s i = λ i s_i = \lambda _i si=λi)则在时域中对应着 C i e λ i t C_i e^{\lambda _i t} Cieλit的运动分量。因此,在时域中,模态可以简单理解为极点 λ i \lambda_i λi所对应的运动模态 e λ i t e^{\lambda _i t} eλit

值得注意的是,一般地,若系统的特征方程为
Δ ( s ) = ∏ i = 1 n ( s − λ i ) \Delta (s) = \prod _{i=1} ^n \left( s - \lambda_i \right) Δ(s)=i=1n(sλi)则其时域中的运动可以表示为
x ( t ) = ∑ i = 1 n C i e λ i t = ∑ i = 1 n x i ( t ) x(t) = \sum _{i=1} ^n C_i e^{\lambda _i t} = \sum _{i=1} ^n x_i (t) x(t)=i=1nCieλit=i=1nxi(t)其中 C i C_i Ci是系数,但同样可以理解为不同子运动模态在整个运动 x ( t ) x(t) x(t)中所占的权重。因此,当讨论模态本身时,我们所讨论的是 e λ i t e^{\lambda _i t} eλit项,而非 C i e λ i t C_i e^{\lambda _i t} Cieλit

2. 模态反馈控制的思想及控制量 u u u设计

模态控制的思想可以用一句话表述:通过设计反馈回路中的增益矩阵 K K K,使得系统具有期望的模态分布(即具有期望的极点分布)。与补偿的思想类似——补偿是通过向系统中添加零极点,实现数学上的传递函数零极点相消的操作,进而使得系统具有期望的零极点。

一般地,系统的动态特性可以由以下方程表示
{ x ˙ = A x + B u y = C x (1) \begin{cases} \dot x = Ax + Bu \\ y = Cx \tag{1} \end{cases} {x˙=Ax+Buy=Cx(1)该形式又被称为柯西形式。

u = − K y (2) u=-Ky \tag{2} u=Ky(2) x ˙ = A x + B u = A x + B ( − K y ) = A x − B K y = A X − B K ( C x ) = ( A − B K C ) x = A ~ x ⟶ A ~ = A − B K C (3) \begin{aligned} \dot x &= Ax + Bu = Ax + B \left( -Ky \right) = Ax - BKy = AX - BK \left( Cx \right) \\ &= \left( A - BKC \right) x = \tilde A x \longrightarrow \tilde A = A-BKC \tag{3} \end{aligned} x˙=Ax+Bu=Ax+B(Ky)=AxBKy=AXBK(Cx)=(ABKC)x=A~xA~=ABKC(3)通过式(2)这种手段,可以将表达式中的 u u u消去,得到仅含有状态量 x x x的式(3)。可以看出,式(2)是将系统输出 y y y经过一个增益 K K K后,作为输入 u u u直接负反馈到了输入端,这就是模态反馈控制中“反馈”的含义。

当输出即为状态量,也就是 y = x y=x y=x时, C = I C = I C=I,
u = − K x , A ~ = A − B K x ˙ = A ~ x = ( A − B K ) x (4) u = - K x, \\ \tilde A = A - BK \\ \dot x = \tilde A x = \left( A - BK \right) x \tag{4} u=Kx,A~=ABKx˙=A~x=(ABK)x(4)
对于原方程(1),可以写出其特征方程
Δ ( s ) = det ⁡ ( s I − A ) \Delta (s) = \det \left( sI - A \right) Δ(s)=det(sIA)那么同样,对于加入了反馈控制 u = − K x u=-Kx u=Kx的系统(4),其特征方程为
Δ ( s ) = det ⁡ ( s I − A ~ ) = det ⁡ ( s I − A + B K ) \Delta (s) = \det \left( sI - \tilde A \right) = \det \left( sI - A + BK \right) Δ(s)=det(sIA~)=det(sIA+BK)若对于该系统有期望的极点 λ i ∗ \lambda_i^* λi,则该系统期望的特征方程为
Δ ∗ ( s ) = ∏ i = 1 n ( s − λ i ∗ ) \Delta^* (s) = \prod _{i=1} ^n \left( s - \lambda_i^* \right) Δ(s)=i=1n(sλi)那么仅需使 Δ ( s ) = Δ ∗ ( s ) \Delta (s) = \Delta^* (s) Δ(s)=Δ(s),即
det ⁡ ( s I − A + B K ) = ∏ i = 1 n ( s − λ i ∗ ) (5) \det \left( sI - A + BK \right) = \prod _{i=1} ^n \left( s - \lambda_i^* \right) \tag{5} det(sIA+BK)=i=1n(sλi)(5)反解出 K K K,即可得到负反馈通路。而这种利用 u = − K x u=-Kx u=Kx进行控制的形式,称为模态反馈控制。

3. 模态反馈控制举例

设有系统
{ x ˙ 1 = − 1 T x 1 + 1 T u x ˙ 2 = x 1 \begin{cases} \dot x_1 = - \frac{1}{T} x_1 + \frac{1}{T} u \\ \dot x_2 = x_1 \end{cases} {x˙1=T1x1+T1ux˙2=x1对其设计模态控制器,使得其拥有期望极点 λ 1 ∗ , λ 2 ∗ \lambda_1^*, \lambda_2^* λ1,λ2

由该系统的柯西形式可以写出
A = [ − 1 T 0 1 0 ] , B = [ 1 T 0 ] A = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{T} & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right], B = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{T} \\ 0 \end{matrix} \right] A=[T1100],B=[T10]设计模态反馈控制器为 u = − K x u=-Kx u=Kx,由于 x ∈ R 2 × 2 , u ∈ R 1 × 1 x \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, u \in \mathbb{R}^{1 \times 1} xR2×2,uR1×1,故 K ∈ R 1 × 2 K \in \mathbb{R}^{1 \times 2} KR1×2,即
K = [ K 1 K 2 ] K = \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \end{matrix} \right] K=[K1K2]那么
det ⁡ ( s I − A + B K ) = det ⁡ ( [ s 0 0 s ] − [ − 1 T 0 1 0 ] + [ 1 T 0 ] ⋅ [ K 1 K 2 ] ) = det ⁡ ( [ s + 1 T 0 − 1 s ] + 1 T [ K 1 K 2 0 0 ] ) = ∣ s + K 1 + 1 T K 2 T − 1 s ∣ = s 2 + K 1 + 1 T s + K 2 T \begin{aligned} \det \left( sI - A + BK \right) &= \det \left( \left[ \begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{T} & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} \frac{1}{T} \\ 0 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \end{matrix} \right] \right) \\ &= \det \left( \left[ \begin{matrix} s + \frac{1}{T} & 0 \\ -1 & s \end{matrix} \right] + \frac{1}{T} \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \right) \\ &= \Bigg\lvert \begin{matrix} s + \frac{K_1 + 1}{T} & \frac{K_2}{T} \\ -1 & s \end{matrix} \Bigg\rvert \\ &= s^2 + \frac{K_1 + 1}{T} s + \frac{K_2}{T} \end{aligned} det(sIA+BK)=det([s00s][T1100]+[T10][K1K2])=det([s+T110s]+T1[K10K20])= s+TK1+11TK2s =s2+TK1+1s+TK2
s 2 + K 1 + 1 T s + K 2 T = ( s − λ 1 ∗ ) ( s − λ 2 ∗ ) = s 2 − ( λ 1 ∗ + λ 2 ∗ ) s + λ 1 ∗ λ 2 ∗ s^2 + \frac{K_1 + 1}{T} s + \frac{K_2}{T} = \left( s - \lambda_1^* \right) \left( s - \lambda_2^* \right) = s^2 - \left( \lambda_1^* + \lambda_2^*\right) s + \lambda_1^* \lambda_2^* s2+TK1+1s+TK2=(sλ1)(sλ2)=s2(λ1+λ2)s+λ1λ2对应系数可以得
{ K 1 + 1 T = − ( λ 1 ∗ + λ 2 ∗ ) K 2 T = λ 1 ∗ λ 2 ∗ \begin{cases} \frac{K_1 + 1}{T} = - \left( \lambda_1^* + \lambda_2^*\right) \\ \frac{K_2}{T} = \lambda_1^* \lambda_2^* \end{cases} {TK1+1=(λ1+λ2)TK2=λ1λ2解得
K 1 = − T ( λ 1 ∗ + λ 2 ∗ ) − 1 , K 2 = T λ 1 ∗ λ 2 ∗ K_1 = -T \left( \lambda_1^* + \lambda_2^*\right) - 1, \quad K_2 = T \lambda_1^* \lambda_2^* K1=T(λ1+λ2)1,K2=Tλ1λ2那么,负反馈通路上的增益矩阵 K = [ K 1 K 2 ] K = \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \end{matrix} \right] K=[K1K2]即可使得系统具有期望的极点 λ 1 ∗ , λ 2 ∗ \lambda_1^*, \lambda_2^* λ1,λ2

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