模态反馈控制

1. 模态的概念

模态是系统中的某个子运动（相对于整体运动而言），系统整体的动态特性是由一个个子运动所组成的（可以类比于空间中的向量基的概念）。

显然，对于某个系统，其运动由特征方程的极点来决定，而不同的极点（如$s_i={\lambda }_i$）则在时域中对应着$C_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$的运动分量。因此，在时域中，模态可以简单理解为极点${\lambda }_i$所对应的运动模态$e^{{\lambda }_{i}t}$。

值得注意的是，一般地，若系统的特征方程为
$$\Delta (s)=\prod _{i=1}^n\left(s-{\lambda }_i\right)$$则其时域中的运动可以表示为
$$x(t)=\sum _{i=1}^n{C}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}=\sum _{i=1}^n{x}_i(t)$$其中$C_i$是系数，但同样可以理解为不同子运动模态在整个运动$x(t)$中所占的权重。因此，当讨论模态本身时，我们所讨论的是$e^{{\lambda }_{i}t}$项，而非$C_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$。

2. 模态反馈控制的思想及控制量$u$设计

模态控制的思想可以用一句话表述：通过设计反馈回路中的增益矩阵$K$，使得系统具有期望的模态分布（即具有期望的极点分布）。与补偿的思想类似——补偿是通过向系统中添加零极点，实现数学上的传递函数零极点相消的操作，进而使得系统具有期望的零极点。

一般地，系统的动态特性可以由以下方程表示
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$该形式又被称为柯西形式。

设$$u=-Ky\text{\hspace{1em}(2)}$$则$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu=Ax+B\left(-Ky\right)=Ax-BKy=AX-BK\left(Cx\right)\\ & =\left(A-BKC\right)x=\tilde{A}x⟶\tilde{A}=A-BKC\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$通过式(2)这种手段，可以将表达式中的$u$消去，得到仅含有状态量$x$的式(3)。可以看出，式(2)是将系统输出$y$经过一个增益$K$后，作为输入$u$直接负反馈到了输入端，这就是模态反馈控制中“反馈”的含义。

当输出即为状态量，也就是$y=x$时，$C=I$,
$$\begin{gathered} u=-Kx, \\ \tilde{A}=A-BK \\ \dot{x}=\tilde{A}x=\left(A-BK\right)x\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
对于原方程(1)，可以写出其特征方程
$$\Delta (s)=\det \left(sI-A\right)$$那么同样，对于加入了反馈控制$u=-Kx$的系统(4)，其特征方程为
$$\Delta (s)=\det \left(sI-\tilde{A}\right)=\det \left(sI-A+BK\right)$$若对于该系统有期望的极点${\lambda }_i^{\ast }$，则该系统期望的特征方程为
$${\Delta }^{\ast }(s)=\prod _{i=1}^n\left(s-{\lambda }_i^{\ast }\right)$$那么仅需使$\Delta (s)={\Delta }^{\ast }(s)$，即
$$\det \left(sI-A+BK\right)=\prod _{i=1}^n\left(s-{\lambda }_i^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(5)}$$反解出$K$，即可得到负反馈通路。而这种利用$u=-Kx$进行控制的形式，称为模态反馈控制。

3. 模态反馈控制举例

设有系统
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=-\frac{1}{T}{x}_1+\frac{1}{T}u\\ {\dot{x}}_2=x_1\end{array}$$对其设计模态控制器，使得其拥有期望极点${\lambda }_1^{\ast },{\lambda }_2^{\ast }$。

由该系统的柯西形式可以写出
$$A=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{T}& 0\\ 1& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{T}\\ 0\end{array}\right]$$设计模态反馈控制器为$u=-Kx$，由于$x\in {\mathbb{R}}^{2\times 2},u\in {\mathbb{R}}^{1\times 1}$，故$K\in {\mathbb{R}}^{1\times 2}$，即
$$K=\left[\begin{array}{cc}{K}_1& K_2\end{array}\right]$$那么
det ⁡ ( s I − A + B K ) = det ⁡ ( [ s 0 0 s ] − [ − 1 T 0 1 0 ] + [ 1 T 0 ] ⋅ [ K 1 K 2 ] ) = det ⁡ ( [ s + 1 T 0 − 1 s ] + 1 T [ K 1 K 2 0 0 ] ) = ∣ s + K 1 + 1 T K 2 T − 1 s ∣ = s 2 + K 1 + 1 T s + K 2 T \begin{aligned} \det \left( sI - A + BK \right) &= \det \left( \left[ \begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{T} & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} \frac{1}{T} \\ 0 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \end{matrix} \right] \right) \\ &= \det \left( \left[ \begin{matrix} s + \frac{1}{T} & 0 \\ -1 & s \end{matrix} \right] + \frac{1}{T} \left[ \begin{matrix} K_1 & K_2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] \right) \\ &= \Bigg\lvert \begin{matrix} s + \frac{K_1 + 1}{T} & \frac{K_2}{T} \\ -1 & s \end{matrix} \Bigg\rvert \\ &= s^2 + \frac{K_1 + 1}{T} s + \frac{K_2}{T} \end{aligned} det(sI−A+BK)​=det([s0​0s​]−[−T1​1​00​]+[T1​0​]⋅[K1​​K2​​])=det([s+T1​−1​0s​]+T1​[K1​0​K2​0​])= ​s+TK1​+1​−1​TK2​​s​ ​=s2+TK1​+1​s+TK2​​​则
$$s^2+\frac{K_1+1}{T}s+\frac{K_2}{T}=\left(s-{\lambda }_1^{\ast }\right)\left(s-{\lambda }_2^{\ast }\right)=s^2-\left({\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2^{\ast }\right)s+{\lambda }_1^{\ast }{\lambda }_2^{\ast }$$对应系数可以得
$$\{\begin{array}{l}\frac{K_1+1}{T}=-\left({\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2^{\ast }\right)\\ \frac{K_2}{T}={\lambda }_1^{\ast }{\lambda }_2^{\ast }\end{array}$$解得
$$K_1=-T\left({\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2^{\ast }\right)-1,K_2=T{\lambda }_1^{\ast }{\lambda }_2^{\ast }$$那么，负反馈通路上的增益矩阵$K=\left[\begin{array}{cc}{K}_1& K_2\end{array}\right]$即可使得系统具有期望的极点${\lambda }_1^{\ast },{\lambda }_2^{\ast }$。