hdu 3441 Rotation

总的来说，这题要2次用到polya定理。

由题目条件A*A=B*B+1，变形为(A-1)*(A+1)=K*B*B;

分别分解A-1和A+1的质因数，在合并在一起。

第一步：搜索B，对B*B的正方形涂色，基本的polya定理搞定，即C^(B*B)+C^((B*B+1)/2)+2*C^((B*B+3)/4).

第二步：搜索K，在A-1和A+1的因子中搜索，这样不会超时，在用polya定理，最后在结果上乘C就可以了……

 

 1 #include<iostream> 2 #include<stdio.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<iomanip> 5 #include<cmath> 6 #include<string> 7 #include<vector> 8 using namespace std; 9 const long mod=1000000007; 10 int prime[40003],m,fac[1000][2],flen; 11 vector<int> v; 12 bool f[40003]; 13 __int64 A,C,ans,ret_A,inverse_4,inverse_k; 14 void init() 15 { 16 __int64 i,j; 17 m=0; 18 for(i=2;i<=40000;i++) 19 if(f[i]==0) 20 { 21 prime[m++]=i; 22 for(j=i*i;j<=40000;j+=i) 23 f[j]=1; 24 } 25 } 26 __int64 extend_gcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y) 27 { 28 __int64 d; 29 if(b==0) 30 { 31 x=1;y=0; 32 return a; 33 } 34 else 35 { 36 d=extend_gcd(b,a%b,x,y); 37 __int64 temp=x; 38 x=y; 39 y=temp-a/b*y; 40 } 41 return d; 42 } 43 __int64 pows(__int64 a,__int64 b) 44 { 45 __int64 ans=1; 46 a%=mod; 47 while(b) 48 { 49 if(b&1) ans=(ans*a)%mod; 50 b>>=1; 51 a=(a*a)%mod; 52 } 53 return ans%mod; 54 } 55 void factor(__int64 n) 56 { 57 int i; 58 for(i=0;i<m&&prime[i]*prime[i]<=n;i++) 59 while(n%prime[i]==0) 60 { 61 v.push_back(prime[i]); 62 n/=prime[i]; 63 } 64 if(n>1) v.push_back(n); 65 } 66 void combine() 67 { 68 sort(v.begin(),v.end()); 69 int i,j; 70 flen=0; 71 fac[flen][0]=v[0]; 72 fac[flen++][1]=1; 73 for(i=1;i<v.size();i++) 74 { 75 if(v[i]==fac[flen-1][0]) 76 fac[flen-1][1]++; 77 else 78 { 79 fac[flen][0]=v[i]; 80 fac[flen++][1]=1; 81 } 82 } 83 } 84 __int64 inverse(__int64 a) 85 { 86 __int64 x,y; 87 extend_gcd(a,mod,x,y); 88 return (x%mod+mod)%mod; 89 } 90 __int64 euler(__int64 n) 91 { 92 int i; 93 __int64 ans=1; 94 for(i=0;i<flen&&fac[i][0]*fac[i][0]<=n;i++) 95 { 96 if(n%fac[i][0]==0) 97 { 98 ans*=fac[i][0]-1; 99 n/=fac[i][0]; 100 while(n%fac[i][0]==0) 101 { 102 ans*=fac[i][0]; 103 n/=fac[i][0]; 104 } 105 } 106 } 107 if(n>1) ans*=n-1; 108 return ans%mod; 109 } 110 void dfs(__int64 d,__int64 num,__int64 cnt_B,__int64 k) 111 { 112 if(d>=flen) 113 { 114 ret_A=(ret_A+pows(cnt_B,k/num)*euler(num)%mod)%mod; 115 return ; 116 } 117 for(int i=0;i<=fac[d][1];i++) 118 { 119 dfs(d+1,num,cnt_B,k); 120 num*=fac[d][0]; 121 } 122 } 123 __int64 get_A(__int64 k,__int64 cnt_B) 124 { 125 ret_A=0; 126 dfs(0,1,cnt_B,k); 127 return ((ret_A*inverse_k)%mod)*C%mod; 128 } 129 __int64 get_B(__int64 n) 130 { 131 __int64 ans=pows(C,n*n); 132 ans=(ans+pows(C,(n*n+1)/2)%mod)%mod; 133 ans=(ans+2*pows(C,(n*n+3)/4)%mod)%mod; 134 return (ans*inverse_4)%mod; 135 } 136 //枚举B 137 //d表示深度，num表示枚举因子的大小 138 void dfsB(__int64 d,__int64 num) 139 { 140 if(d>=flen) 141 { 142 __int64 cnt_B=get_B(num); 143 __int64 k=(A*A-1)/num/num; 144 inverse_k=inverse(k); 145 ans=(ans+get_A(k,cnt_B))%mod; 146 return ; 147 } 148 int temp=fac[d][1]; 149 for(int i=0;i<=temp;i+=2,fac[d][1]-=2) 150 { 151 dfsB(d+1,num); 152 num*=fac[d][0]; 153 } 154 fac[d][1]=temp; 155 } 156 __int64 solve() 157 { 158 v.clear(); 159 factor(A-1); 160 factor(A+1); 161 combine(); 162 ans=0; 163 dfsB(0,1); 164 return ans; 165 } 166 int main() 167 { 168 init(); 169 int t,k=0; 170 inverse_4=inverse(4); 171 cin>>t; 172 while(t--) 173 { 174 scanf("%I64d%I64d",&A,&C); 175 if(A==1) 176 printf("Case %d: %I64d\n",++k,C); 177 else printf("Case %d: %I64d\n",++k,solve()); 178 } 179 return 0; 180 }

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