【RMQ问题】求数组区间最大值,NYOJ-1185-最大最小值

• 转自：http://blog.csdn.net/lilongherolilong/article/details/6624390
• 先挖好坑，明天该去郑轻找虐
• RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的（怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍，估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树（前提是不写错）应该不会挂。但是，这里有更简单的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)地回答每个询问。
• 来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）
• 　　首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）.

【实现代码】

 1 /*

 2 pku3264

 3 大意是给你一串数字，然后问你从第i个到第j个中最大的数减去最小的数的值

 4 用rmq求出【i,j】中的最大最小值相减即可

 5 rmq算法思想：

 6 一，预处理

 7 设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。

 8 例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。

 9 f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。

10 这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

11 我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j] 一定是偶数个数字），

12 从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。

13 用上例说明，当 i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。

14 f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。

15 于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）.

16 二，查询

17 如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^k的区间（保证有f[i，j]对应）。直接给出表达式：

18 k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2))；

19 ans:=max(F[l，k]，F[r-2^k+1，k])；

20 */

21 #include <iostream>

22 #include <math.h>

23 #define max(a,b) ((a>b)?a:b)

24 #define min(a,b) (a<b?a:b)

25 

26 using namespace std;

27 

28 const int maxn=50001;

29 int h[maxn];

30 int mx[maxn][16],mn[maxn][16];

31 int n,q;

32 

33 void rmq_init()

34 {

35     int i,j,t;

36     for(j=1;j<=n;j++) mx[j][0]=mn[j][0]=h[j];

37     int m=floor(log((double)n)/log(2.0));

38     for(i=1;i<=m;i++){

39         for(j=1;j<=n;j++){

40             t = j+(1<<(i-1));

41             if(t<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i-1],mx[t][i-1]);

42             else mx[j][i]=mx[j][i-1];

43         }

44     }

45     for(i=1;i<=m;i++){

46         for(j=1;j<=n;j++){

47             t = j+(1<<(i-1));

48             if(t<=n) mn[j][i]=min(mn[j][i-1],mn[t][i-1]);

49             else mn[j][i]=mn[j][i-1];

50         }

51     }

52 }

53 

54 int rmq(int l,int r)

55 {

56     int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0));

57     int a=max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);

58     int b=min(mn[l][m],mn[r-(1<<m)+1][m]);

59     return a-b;  

60 }

61 

62 int main()

63 {

64     int i,l,r;

65     scanf("%d%d",&n,&q);

66     for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);

67     rmq_init();

68     for(i=0;i<q;i++){

69         scanf("%d%d",&l,&r);

70         printf("%d\n",rmq(l,r));

71     }

72     return 0;

73 }

 

【题目链接：NYOJ-1185】

最大最小值

时间限制： 1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度： 2

描述

给出N个整数，执行M次询问。

对于每次询问，首先输入三个整数C、L、R：

    如果C等于1，输出第L个数到第R个数之间的最小值；

    如果C等于2，输出第L个数到第R个数之间的最大值；

    如果C等于3，输出第L个数到第R个数之间的最小值与最大值的和。

（包括第L个数和第R个数）。

输入

首先输入一个整数T（T≤100），表示有T组数据。
对于每组数据，先输入一个整数N（1≤N≤10000），表示有N个整数；
接下来一行有N个整数a（1≤a≤10000）；
然后输入一个整数M，表示有M次询问；
接下来有M行（1≤M≤10000），每行有3个整数C、L、R（1≤C≤3，1≤L≤R≤N）。

输出

按照题意描述输出。每个输出占一行。

样例输入

2

4

1 3 2 4

2

1 1 4

2 2 3

5

1 2 3 4 5

1

3 1 5

样例输出

1

3

6

 1  

 2 #include <cstdio>

 3 #include <math.h>

 4 #define max(a,b) ((a>b)?a:b)

 5 #define min(a,b) (a<b?a:b)

 6 

 7 const int maxn=50001;

 8 int h[maxn];

 9 int mx[maxn][16],mn[maxn][16];

10 int n,q;

11 

12 void rmq_init()

13 {

14     int i,j,t;

15     for(j=1;j<=n;j++) mx[j][0]=mn[j][0]=h[j];

16     int m=floor(log((double)n)/log(2.0));

17     for(i=1;i<=m;i++){

18         for(j=1;j<=n;j++){

19             t = j+(1<<(i-1));

20             if(t<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i-1],mx[t][i-1]);

21             else mx[j][i]=mx[j][i-1];

22         }

23     }

24     for(i=1;i<=m;i++){

25         for(j=1;j<=n;j++){

26             t = j+(1<<(i-1));

27             if(t<=n) mn[j][i]=min(mn[j][i-1],mn[t][i-1]);

28             else mn[j][i]=mn[j][i-1];

29         }

30     }

31 }

32 int rmq(int l,int r)

33 {

34     int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0));

35     int a=max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);

36     int b=min(mn[l][m],mn[r-(1<<m)+1][m]);    

37     return a+b;

38 }

39 int out_min(int l,int r){

40     int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0));

41     int b=min(mn[l][m],mn[r-(1<<m)+1][m]);    

42     return b;

43 }

44 int out_max(int l,int r){

45     int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0));

46     int a=max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]);

47     return a;

48 }

49 int main()

50 {

51     int i,l,r;

52     int T,C,L,R;

53     scanf("%d",&T);

54     while(T--){

55         scanf("%d",&n);

56         for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);

57         rmq_init();

58         scanf("%d",&q);

59         while(q--){

60             scanf("%d%d%d",&C,&L,&R);

61             if(C == 1)

62                 printf("%d\n",out_min(L,R));

63             else if(C == 2)

64                 printf("%d\n",out_max(L,R));

65             else if(C == 3)

66                 printf("%d\n",rmq(L,R));

67         }

68     }

69     return 0;

70 }