DTFT、DFS、DFT和FFT的关系 离散数字信号处理 数字角频率和模拟角频率

学信号最烦的便是数字信号处理，感觉很一大部分的人都在DTFT和DFT和FFT之间迷茫，下面我就大概谈一下我自己对它们的看法。

下面我就从第一步大概给大家介绍一下它们的变化过程。
首先是DTFT：
（1）DTFT是对时域的采样，进行DTFT之后时域的信号就变成离散化的了，时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续（很多人可能无法理解这句话，其实这句话没什么理解的，就是对这种现象的一句话的总结）。这里的周期延拓的周期就是采样频率Ωs。此处的DTFT是序列（为什么叫序列呢，是已经在时域对信号进行采样了，所以信号叫做序列）在频域的表示。在频域中承载着信息，其含义是将信号表达为许多不同频率的复正弦信号的加权平均和，水平轴为复正弦信号的频率，纵轴为对应的幅值。（这里感觉是傅里叶级数的内容吧，印象比较清楚的是一个方波是无穷个正弦信号的叠加，然后频谱是无限的，仅仅针对某些特殊的信号频谱才是有限的，例如正弦信号，只在一处对应的幅值不为零，其他都为0，所以是一条线）。
感觉此处大家可能有一个疑问，长度有限的信号的频谱一定是无穷大的么，我感觉是的，例如门函数，它就是由无穷个正弦波才能叠加而成，所以频谱是无限的（后面窗函数也会说到这个问题）。
（2）计算机对信号处理信号必须是有限长的吧，不然计算机怎么处理信号呢对吧。所以第二步的DTFT在时域对信号进行了截断，将时域无限长的信号截成了有限长的信号，怎么截呢，此处就用到了窗函数。
窗函数就是在时域如下图所示的函数（大括号不知道怎么打，将就着看吧）：
r[n] = 1 0 0 其他时间
r[n]在频域的图像如下面的Rn(w)所示：

上图的X(ejw)是余弦函数的对应的频谱的图像，又为了截断信号，时域的信号肯定是相乘对吧，这样子才能把信号时域信号截断为有限长，由时域频域对应的运算关系可以知道，时域的乘积对应的是频域的卷积对吧，频域的卷积结果就如Y(ejw)所示。
这里大家要和滤波器的内容区分开来，滤波器其实是频域的门函数，主要是对频率进行截断，而窗函数是频域的门函数，这里一定要区分开来。
大家肯定都注意到了，对于第一个图第二个的DTFT对应的频谱中间有些锯齿的东西，其实就是这个影响，对于第一个图我们是不是可以想象成有许多频率的信号分别和这个X(ejw)卷积，然后想加，X(ejw)本来它的旁瓣也不为零，有一定的高度，所以那么多的信号叠加，中间的位置肯定就会产生锯齿状的频谱了呀。
这个现象的专业术语叫频谱泄露，为了改变这种现象，常用的方式大概有增加窗函数的长度，选用不同的窗函数，合理选取信号截断的部分等方式。
然后是后面的DFS：
对于DFS我们不妨从后面频域考虑，我们计算机处理信号只能是处理离散的信号对吧，所以我们费尽心机从时域采样，但是频域的信息是连续的，那么我们是不是可以对频域的信息也进行采样，将频域也离散化呢，这样子才能便于计算机的处理对吧。
此处信号的频域离散化（注意此处的频域离散化指的是数字角频率感觉）对应的是截短信号时域周期化（如果暂时不理解这个内容先试着接受，时间长了感觉就会有新的感受，哈哈哈哈）。大家想哦，频域采样需要考虑什么呀，由于频域是周期延拓的，当然是频域一个周期的采样点数是多少，采样间隔是多少了对吧。那就不得不提一下数字角频率和模拟角频率的概念了，相信其中的模拟角频率绝对是大多数人学习信号的时候最难搞懂的内容了。

数字角频率和模拟角频率的关系，我感觉这个图说的最形象了
首先，对于正常的坐标轴，对应的横坐标是Ω（模拟角频率），此处大家很好理解，但是下面为什么要将横轴改变为w呢，哎，此处看不出来巧妙之处，如果将频谱离散之后你是不是就大概看懂了此处的内容了吧，你会发现谱线间隔就是2π/N（N就是采样点数），当然也等于Fs/N（其实一样的），此处改成2π主要是因为频域离散之后，模拟角频率就感觉分析起来离散的，是不是怪怪的（此处感觉我也没办法形容，就是一种新的概念的引入吧）。
此处我再放三个图吧，大家可以对照理解一下（第三个是DFT和z变换的关系感觉，不过差不多是一样的）


通过我们对DFT运算过程中我们发现，序列补零后可以减少谱线间隔，也就是减小栅栏效应，补零后的分辨率是2π/L（L是补零后的DFT点数）。

但是，最最最重要的一点是序列补零并不能增加DFT频率分辨率，先看下面的这个图：
这里有两个长度，N和L，N是信号的有效长度，L是序列补零后的长度，N影响的是序列DTFT的分辨率，
但是L影响的是对DTFT采样的个数，也就是这个图，
这里大家好好体会一下吧，我感觉就像是拍照一样，DTFT就像是拍照拍出来的像素，DFT就像是你去看这个图片，N比较长，相当于相机像素好，你看的清晰，L长，相当于你的眼睛好，但是相机质量差呀，你看的再清晰图片本来就是糊的，怎么能分辨出频谱细节呢。（自己体会一下吧）

DFS其实就是对DFT进行周期延拓，DFT就是取出了DFS的一个主值区间，这个其实是一样的，不分开说了。

FFT其实就是发现了DFT运算的某些数学关系，然后进行的一种简化运算，暂时也不说了吧，有空再写。

个人理解，如果有不对的敌方，欢迎指正。

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