【LeetCode: 1911. 最大子序列交替和 | 暴力递归=＞记忆化搜索=＞动态规划 】

算法题

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算法题

题目链接

• 1911. 最大子序列交替和

⛲ 题目描述

一个下标从 0 开始的数组的 交替和 定义为 偶数 下标处元素之 和 减去 奇数 下标处元素之 和 。

比方说，数组 [4,2,5,3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。
给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的 最大交替和 （子序列的下标 重新 从 0 开始编号）。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的一个子序列（加粗元素），但是 [2,4,2] 不是。

示例 1：

输入：nums = [4,2,5,3]
输出：7
解释：最优子序列为 [4,2,5] ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。
示例 2：

输入：nums = [5,6,7,8]
输出：8
解释：最优子序列为 [8] ，交替和为 8 。
示例 3：

输入：nums = [6,2,1,2,4,5]
输出：10
解释：最优子序列为 [6,1,5] ，交替和为 (6 + 5) - 1 = 10 。

提示：

1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 105

求解思路&实现代码&运行结果

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⚡ 暴力法

求解思路

1. 简单概括题目的意思:这是一道子序列类型的题目，每个位置可以选择，也可以不选，让我们求得nums数组中任意子序列的最大交替和。(最大交替和的定义请看题目)
2. 具体怎么求解呢？我们对题目进行一个拆分，发现最终求解的问题规模是可以转换为更小的问题规模进行求解的，所以我们通过递归的思路来求解。
3. 问题又来了？怎么设计递归函数呢？这个就需要大家认真考虑了。
4. 我们假设定义递归函数process(index,flag)，函数的含义是从index位置开始，flag=0代表此时已经选择了偶数个数，flag=1则相反，最终返回最大交替和。
5. 具体的状态是怎么转移的呢？我们可以分为以下俩种情况：如果当前选择了偶数个数，那么此时有俩种可能，可以之前并没有选择；也有可能是之前选择了奇数个数并且选择当前的数，俩者去较大值即可；同理可以推出如果选择了奇数个数的情况，最终再取得俩种情况的最大值即可。
6. 有了基本的思路，接下来我们就来通过代码来实现一下。

实现代码

class Solution {

    int[] nums;
    int n;

    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        n=nums.length;
        this.nums=nums;
        return process(0,0);
    }

    public long process(int index,int cnt){
        if(index>=n) return 0;
        long p1=0,p2=0;
        if(cnt==0){
            p1=Math.max(process(index+1,0),process(index+1,1)+nums[index]);
        }else{
            p2=Math.max(process(index+1,1),process(index+1,0)-nums[index]);
        }
        return Math.max(p1,p2);
    }
}

运行结果

时间复杂度&空间复杂度

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⚡ 记忆化搜索

求解思路

1. 因为在递归的过程中，会重复的出现一些多次计算的结果，我们通过开辟一个数组，将结果提前缓存下来，算过的直接返回，避免重复计算，通过空间来去换我们的时间。

实现代码

class Solution {

    int[] nums;
    int n;
    long[][] map;

    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        n=nums.length;
        this.nums=nums;
        map=new long[n+1][2];
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<2;j++){
                map[i][j]=-1;
            }
        }
        return process(0,0);
    }

    public long process(int index,int cnt){
        if(index>=n) return 0;
        if(map[index][cnt]!=-1) return map[index][cnt];
        long p1=0,p2=0;
        if(cnt==0){
            p1=Math.max(process(index+1,0),process(index+1,1)+nums[index]);
        }else{
            p2=Math.max(process(index+1,1),process(index+1,0)-nums[index]);
        }
        map[index][cnt]=Math.max(p1,p2);
        return map[index][cnt];
    }
}

运行结果

通过缓存，将重复计算的结果缓存下来，通过。

时间复杂度&空间复杂度

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⚡ 动态规划

求解思路

1. 有了递归，有了记忆化搜索，接下来就是动态规划了，直接上手。

实现代码

class Solution {

    int[] nums;
    int n;
    long[][] dp;

    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        this.n=nums.length;
        this.nums=nums;
        dp=new long[n+1][2];
        dp[n][0]=dp[n][1]=0;
        for(int index=n-1;index>=0;index--){
            dp[index][0]=Math.max(dp[index+1][0],dp[index+1][1]+nums[index]);
            dp[index][1]=Math.max(dp[index+1][1],dp[index+1][0]-nums[index]);
        }
        return dp[0][0];
    }
}

运行结果

动态规划搞定，大家可以积极的尝试。

时间复杂度&空间复杂度

扩展:还可以继续进行优化算法的空间复杂度

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共勉

最后，我想和大家分享一句一直激励我的座右铭，希望可以与大家共勉！