依然是一些dp的题目。不相交的线这个题第一次见真是想不出来。
1143. 最长公共子序列 - 力扣(Leetcode)
注意是三个位置推导出当前的状态。
继续动规五部曲分析如下:
dp[i][j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
有同学会问:为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1,定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么?
这样定义是为了后面代码实现方便,如果非要定义为为长度为[0, i]的字符串text1也可以,大家可以试一试!
主要就是两大情况: text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。
即:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下:
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
先看看dp[i][0]应该是多少呢?
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0,所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖,初始为多少都可以,那么就统一初始为0。
代码:
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
从递推公式,可以看出,有三个方向可以推出dp[i][j],如图:
那么为了在递推的过程中,这三个方向都是经过计算的数值,所以要从前向后,从上到下来遍历这个矩阵。
以输入:text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例,dp状态如图:
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕,C++代码如下:
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
};
初见真是想不到啊,没想到和1143.最长公共子序列是完全一样的。
1035. 不相交的线 - 力扣(Leetcode)
相信不少录友看到这道题目都没啥思路,我们来逐步分析一下。
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线,只要 A[i] == B[j],且直线不能相交!
直线不能相交,这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列,且这个子序列不能改变相对顺序,只要相对顺序不改变,链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例,相交情况如图:
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4],长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变(即数字4在字符串A中数字1的后面,那么数字4也应该在字符串B数字1的后面)
这么分析完之后,大家可以发现:本题说是求绘制的最大连线数,其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度!
本题代码如下:
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[A.size()][B.size()];
}
};
53. 最大子数组和 - 力扣(Leetcode)
需要注意的是dp数组的最后一个值并不一定是目标值,注意dp[i]的含义。
贪心也挺好理解,甚至我觉得贪心和dp有相似之处,都是减小了就重新开始计算和。
动规五部曲如下:
dp[i]:包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
dp[i]只有两个方向可以推出来:
一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历。
以示例一为例,输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],对应的dp状态如下:
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]! ,而是dp[6]。
在回顾一下dp[i]的定义:包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
那么我们要找最大的连续子序列,就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。
所以在递推公式的时候,可以直接选出最大的dp[i]。
以上动规五部曲分析完毕,完整代码如下:
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
}
return result;
}
};