关于排列组合、递推、错排

最近接连做了很多道关于找规律、递推、排列组合的数学问题，仿佛回到了当初高中时候被排列组合支配的日子，顺便写了这篇文章来整理一下最近做的题目和方法，并不能总结出什么好看的花来，但是遇到什么相似的题目还是能启发一下照葫芦画瓢吧……
本篇涉及杭电oj 2044小蜜蜂、2046骨牌铺方格、2041超级楼梯、2045 RPG难题、2047 EOF、2048直接错排、2049新郎
一开始做这些题目我就是靠枚举法找规律递推做出来的，但接触了一堆这类题之后就开始思考类似于错排公式D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2])中（n-1）这种项数前的系数有什么意思。

2044、2046、2041这三道直接找规律得出D[n]=D[n-1]+D[n-2]就不探讨了，本篇主要讨论其他四篇。
首先先讨论错排，错排的原理是

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；
综上得到，D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

参考题目2048

2048

#include "stdio.h"
int main()
{
    int n,m;
    double num;
    long long a[22]={0,0,1,2},M;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=4;i<=21;i++)
            a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);//排错公式，每增加一个人的错误情况
        while(n--)
        {
            scanf("%d",&m);
            M=1;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                M*=i;
            num=((double)a[m]/(double)M)*100;//每增加1错误情况概率
            printf("%.2lf%%\n",num);
        }
    }
        return 0;
}

有了这个基础，我们看看其他题。

2045

2045

#include "iostream"
using namespace std;
long long a[60];
int main()
{
    int n,i;
    a[1]=3;
    a[2]=6;
    a[3]=6;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n<0||n>50)continue;
        for(i=4;i<=n;i++)
          a[i]=a[i-1]+2*a[i-2];
        cout<

这道题要点有两个，首先相邻的不能同色，其次首尾不能同色。要判断n项有几种涂法（D(n)），关键在于第n-1项是不是和第一项为同一个颜色，两种情况：
1、第n-1项与第1项颜色相同，则第n-1项的涂色方法为前n-2项的涂色方法×1（即D(n-2)），因为相邻不能同色，那么第n项就有两个颜色可涂，即这种情况有D(n-2)×2种方法。
2、第n-1项与第1项颜色不相同，那么因首尾不同和相邻不同第n项只有1种颜色可涂，即D(n-1)×1。
两种情况相加即D(n) = D(n-2) ×2+ D(n-1)。

2047

2047

#include "iostream"
using namespace std;
long long a[41];
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        a[0]=3;
        a[1]=8;
        for(int i=2;i

这道题要点OO不能相邻，关键在于第n项是不是O，两种情况：
1、第n项不是O，则第n项选择的字符为2个，即选择为前n-1项×2（即D(n-1)×2），这种情况有D(n-1)×2种方法。
2、第n项是O，则第n-1项选择的字符为2个，即D(n-2)×2，这种情况有D(n-2)×2×1种方法。
两种情况相加即D(n) = D(n-2) ×2+ D(n-1)×2。
（这个想法有点奇怪…我想到了再完善）

2049

2049

#include "stdio.h"
int main()
{
    int n,m,c;
    long long a[22]={0,0,1,2},M,N;
    while(scanf("%d",&c)!=EOF)
    {
        for(int i=4;i<=21;i++)
            a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);//排错公式，每增加一个人的错误情况
        while(c--)
        {
            scanf("%d %d",&n,&m);
            M=N=1;
            for(int i=1;i<=n-m;i++)
            {    M=M*(n-i+1);
                N*=i;
            }
            long long k=a[m]*M/N;
            printf("%lld\n",k);
        }
    }
        return 0;

}

这道题分两步，第一步把m个新郎排错，第二步是考虑n-m个新郎正确的情况，然后两种情况相乘。