【算法 | 板子】博弈

一、巴什博弈

情景：两人轮流取：总数=n，可取范围[1，m]。

推导：n==k*(m+1)+s; ①取s，②①分别取m+1。①一定胜出

结论：若n为(n+1)的倍数：②胜出 else ①胜出

P/N分析

1.终结点必败 2.一步到P为N 3.一步只能到N的为P

二、斐波那契博弈

情景：两人轮流取：1）不能在第一次取完。2）之后取的范围[1，2*对手刚刚取的数目]。

结论：若此数为fib，则②胜出。

三、威佐夫博弈

情景：两堆物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论：奇异局势（必败）判断：
$$ak=[k（1+\surd 5）/2]，bk=ak+k（k=0，1，2，\dots ,n方括号表示取整函数）。$$

四、尼姆博弈

情景：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

结论：搞定这个问题需要把必败态的规律找出：(a,b,c)是必败态等价于a^bc=0(^表示异或运算）。

推广一：如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a^b,即可,因为有如下的运算结果: a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0^0=0。要将c 变为a^b，只从 c中减去 c-（a^b）

推广二：当石子堆数为n堆时，则推广为当对每堆的数目进行亦或之后值为零是必败态