高中奥数 2021-07-01

2021-07-01-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题3）

设变量满足,且的最小值是,则等于.

解

由得,

当.

图像的对称轴在闭区间中,即当时,,(舍去).

图像的对称轴在闭区间左侧,即当时,,.

综上,.

2021-07-01-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题4）

若关于的不等式的解集为空集,则的取值范围是.

解

由题意得,对恒成立.

所以.

令,则.

当时,;

当时,,当且仅当时,取等号;

当时,,当且仅当时,取等号.

综上,.

2021-07-01-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题5）

证明:三角形三条高线的中点共线的充分必要条件是这个三角形是直角三角形.

证明

在中,三条高线的中点、、分别在中位线三边所在直线上.若是锐角三角形,则点、、在的三边上,故此三点不共线;若是钝角三角形,则点、、中有两点在的两条边的延长线上,另一点在第三条边上,故此三点不共线;若是直角三角形,则点、、在直角所对的中位线上.