2019-05-31 Seminar (Foundations of AdS5 x S5 Superstring I)

CFT的部分先告一段落了，本学期的最后几次seminar准备讲一讲弦论的部分，对我来说就是把很多之前模棱两可的细节搞清楚，因为理解力还有知识的增加，很多以前不懂的东西应该可以看懂了。

这次现实介绍了一下 the global picture，希望以后几次可以补充里面的细节。

超弦理论有两种不同的formalism： RNS和GS，分别对应了worldsheet supersymmetry和 spacetime
supersymmetry。对于有flux的背景，这里用GS比较方便，可以理解一个超对称版的sigma model。这个model的global对称性就是和N=4 SYM 一样的PSU(2,2|4), 这些global对称性organize the string states. 弦论的特点还有就是他具有local的gauge symmetry：worldsheet上的diffeomorphis还有一个Weyl transformation。对于gauge theory的quantization有不同的方法，各自有不同的优缺点，所以为什么弦论的教材对所有的quantization的方法都有介绍要求掌握。我们还是使用了一般的canonical的先fix gauge的方法。这里我们选取了light-cone gauge，light-cone gauge的好处是可以一些把lightlike 还有timelike方向的这些非物理的自由度去掉，缺点就是破坏了Lorentz 对称性。在light-cone gauge下的另一个好处是，我们取一个decompactification的极限，在这个极限下，worldsheet理论变成了一个具有massive spectrum的理论，这样就可以很好的定义散射振幅。如果弦论在这个背景下具有可积性，那么散射振幅可以被分解成2-2 scattering S-matrix。这个S-matrix几乎被对称性完全限制到一些dressing factor，确定这些dressing factor，需要一些其他的假设。在用对称性确定S-matrix时，我们可以做一些centrally extension。这个centrally extension的实现是因为我们把left copy还有right copy的子代数当做是完全无关的，这就相当于忽略了弦论的level matching 条件。
有了S-matrix之后，我们可以通过它的pole来得到bound state的spectrum。到这里我们就完全解决了这个massive the worldsheet theory。
接下来我们回到我们真正关心的不取 decompactification的理论。我们分别有微扰法还有非微扰法。微扰法包括asymptotic Bethe ansatz来确定一一些power law的修正，还有Luscher formualar 来确定 exponential 的修正。非微扰法我们有mirror theory还有Y-systems。以上就是整个求解弦论的一个逻辑。

Some comments：1 弦论的确是一个CFT，但是如果从Nambu-Goto的action出发，这个action是最自然的对相对论粒子的推广，然后引入worldsheet metric，到一个sigma model 这个角度出发。2D conformal symmetry 是一个large gauge transformation，也就是一些residue gauge symmetry。
2 一般弦论是有额外的对称性的，这些对称性可能会被加强到local的 symmetry，所以 string state 并一定是 Virasora algebra 的primary operator，而是这些而外对称的 primary operator。比如在平直空间的 bosonic string，他是有一些U(1) Kac-Moody 代数的，所以bosonic string 的state 是这些Kac-Moody algebra 的primary。这就很有意思了，弦论的Kac-Moody 的primary 会对应 规范场里的 Virasoro algebra 的primary，这也是AdS/CFT的一个神奇之处。