高数：定积分

引入：曲边梯形面积

a和b中两点插入n个点，a=x0

取n个区间内某点的函数值，y0，y1，y2...yn

产生多个小长方形面积，s=x*y

取为x1-x0到xn-xn-1的最大值

曲边梯形面积=长方形的面积求和和当趋近于0时，又叫从a到b的f（x）定积分

定积分：

定义：在有界函数在[a,b]插入任意分点,分成任意区间，在区间内任意一点的函数值

 a为下限，b为上限，从下限到上限定积分

 只和f（x），[a,b]有关，与积分变量无关

可积的条件：只有连续，或者有界有限个间断点

几何意义：在区间ab函数图像与x轴的形成的面积

定积分的正负：

f（x）大于0，定积分结果大于0

         小于0，结果小于0

         有正有负， 结果未知

理解：

对一个表达式就极限，结果为一个常数。

注意：1.积分上下限就是积分变量的范围

2.与积分变量无关的变量的数可以往外提

定积分近似计算：

1.用矩形的面积来近似：关键就是矩形的高度即某点的函数值

2.用梯形近似：无数个梯形面积求和

3.抛物线方法：取高度y1，y2，y3.....模拟出一个抛物线的方程，再用积分求出抛物线和x轴形成的阴影面积（这不就是用抛物线直接拟合原曲线吗，再对抛物线求定积分吗？）

定积分性质：

性质1，2

（1）直线的空间为0

性质3

和不定积分性质相同

性质4

 

与b，c大小无关，a

函数是y=1，围成的面积就是（b-a）*1

推论1

 

f（x）围成的面积大于g（x）

推论2

 左项围成的面积正负抵消，使得总使得左项小于等于右项

M，m为某个函数值的y值，就是以b-a的底，不同函数值为高的长方形和实际面积比较

 定积分中值定理：

 

以b-a为底的长方形，面积等于曲线梯形，由上一个定理可知，曲线的面积在m*（a-b）和M*（a-b）之间，必然存在一点的*（a-b）刚好等于面积

此时为平均值

微积分的基本公式：

 从T1到T2的行驶的距离（速度是变化的）

积分上限函数：固定下限，上限是变的

 

对积分上限函数求导：

  就是定积分式子，定积分的导数是被积的函数。

理解：把f（x）看成速度，x看成时间，路程对时间求导就是瞬时速度，就是f（x）

积分下限函数求导：将它变成上限是x的函数乘-1

定积分复合函数求导：

上限是符号函数：

 

上下限都是复合函数：

先把上限代进去，对上限求导，再把下限代进去对下限求导

牛顿-布莱公式：

F（x）是f（x）原函数即F'(x)是f（x）。

x的范围[a,b]

从不定积分角度来看，就是在时间a到b中，某个函数的导数是速度，

这个函数就是以时间为自变量，行走的路程为应变量F（x）

由时间a到b的路程就等于F（b）-F(a)

 作用：求定积分可以用不定积分，先代上限，再代下限

定积分换元法：

 1.引入换元函数

2.上下限也改变

3.考虑奇偶性

周期函数：

 

 反常积分：

无穷限的反常积分：

上，下，上下限取无穷

依然用牛顿原则，把a代成无穷

无界函数的反常积分：

趋于无穷的点：瑕点

有瑕点的函数叫无界函数

b为瑕点，函数在的右侧有定义

总结：实际上就是改一种形式

计算出来的结果可能为无穷

瑕积分的欺骗性：

忽略原函数的瑕点，只看上下限

如果有瑕点要注上下限分开

瑕积分换元：单调函数

伽马函数:

定义：

1.

2.

定积分应用：

元素法：举了几个列子

平面图形面积：

理解：把f（x）为一条线，许多条线密密麻麻凑成图形（更准确说是宽趋近于0），上面公式表示x从a到b的面积求和

1.x型区域：以x自变量

2.y型区域：以y为自变量

1.面积是不变的，以谁为自变量都可以

2.两函数有交点会有抵消要，分开求

3.减出来是负的也无所谓，取绝对值就行

实际上：应为四条线，两条圈定图型，两条限定范围

极坐标求面积：

 

p为弧线长，a为半径

大体和求平面图型一个思路。

 取一小部分近似看成扇形，半径为p

求旋转体体积:

体积等于可以分为高趋近于0的许多给薄面（积分存在某个东西可以突破线性相关的原则）

求出很多个横截面的面积求和，横截面面积随着高变化而不断变化

1.绕x轴旋转，绕y轴旋转

定积分求弧长：

用弧上两点的连线来表示：

取极小的x加和极小的y

 

 极坐标：

 

定积分：物理应用……