高数:定积分

引入:曲边梯形面积

a和b中两点插入n个点,a=x0

取n个区间内某点的函数值,y0,y1,y2...yn

产生多个小长方形面积,s=x*y

为x1-x0到xn-xn-1的最大值

曲边梯形面积=长方形的面积求和和当趋近于0时,又叫从a到b的f(x)定积分

定积分:

定义:在有界函数在[a,b]插入任意分点,分成任意区间,在区间内任意一点的函数值

 a为下限,b为上限,从下限到上限定积分

 只和f(x),[a,b]有关,与积分变量无关

可积的条件:只有连续,或者有界有限个间断点

几何意义:在区间ab函数图像与x轴的形成的面积

定积分的正负:

f(x)大于0,定积分结果大于0

         小于0,结果小于0

         有正有负, 结果未知

理解:

对一个表达式就极限,结果为一个常数。

注意:1.积分上下限就是积分变量的范围

2.与积分变量无关的变量的数可以往外提

定积分近似计算:

1.用矩形的面积来近似:关键就是矩形的高度即某点的函数值

2.用梯形近似:无数个梯形面积求和

3.抛物线方法:取高度y1,y2,y3.....模拟出一个抛物线的方程,再用积分求出抛物线和x轴形成的阴影面积(这不就是用抛物线直接拟合原曲线吗,再对抛物线求定积分吗?)

定积分性质:

性质1,2

高数:定积分_第1张图片

(1)直线的空间为0

性质3

和不定积分性质相同

性质4

 

与b,c大小无关,a

高数:定积分_第2张图片

函数是y=1,围成的面积就是(b-a)*1

推论1

 高数:定积分_第3张图片

f(x)围成的面积大于g(x)

推论2

高数:定积分_第4张图片

 左项围成的面积正负抵消,使得总使得左项小于等于右项

M,m为某个函数值的y值,就是以b-a的底,不同函数值为高的长方形和实际面积比较

 定积分中值定理:

高数:定积分_第5张图片

 高数:定积分_第6张图片

以b-a为底的长方形,面积等于曲线梯形,由上一个定理可知,曲线的面积在m*(a-b)和M*(a-b)之间,必然存在一点的*(a-b)刚好等于面积

高数:定积分_第7张图片

此时高数:定积分_第8张图片为平均值

微积分的基本公式:

高数:定积分_第9张图片

 从T1到T2的行驶的距离(速度是变化的)

积分上限函数:固定下限,上限是变的

 高数:定积分_第10张图片

对积分上限函数求导:

高数:定积分_第11张图片

  就是定积分式子,定积分的导数是被积的函数。

理解:把f(x)看成速度,x看成时间,路程对时间求导就是瞬时速度,就是f(x)

积分下限函数求导:将它变成上限是x的函数乘-1

高数:定积分_第12张图片

定积分复合函数求导:

上限是符号函数:

 高数:定积分_第13张图片

上下限都是复合函数:

高数:定积分_第14张图片

先把上限代进去,对上限求导,再把下限代进去对下限求导

牛顿-布莱公式:

高数:定积分_第15张图片

F(x)是f(x)原函数即F'(x)是f(x)。

x的范围[a,b]

从不定积分角度来看,就是在时间a到b中,某个函数的导数是速度,

这个函数就是以时间为自变量,行走的路程为应变量F(x)

由时间a到b的路程就等于F(b)-F(a)

 作用:求定积分可以用不定积分,先代上限,再代下限

定积分换元法:高数:定积分_第16张图片

 1.引入换元函数

2.上下限也改变

3.考虑奇偶性

高数:定积分_第17张图片

高数:定积分_第18张图片 周期函数:

 高数:定积分_第19张图片

高数:定积分_第20张图片

 反常积分:

无穷限的反常积分:

上,下,上下限取无穷

依然用牛顿原则,把a代成无穷

无界函数的反常积分:

趋于无穷的点:瑕点

有瑕点的函数叫无界函数

b为瑕点,函数在的右侧有定义

总结:实际上就是改一种形式

计算出来的结果可能为无穷

瑕积分的欺骗性:

忽略原函数的瑕点,只看上下限

如果有瑕点要注上下限分开

瑕积分换元:单调函数

伽马函数:

定义:

1.

2.

定积分应用:

元素法:举了几个列子

平面图形面积:

理解:把f(x)为一条线,许多条线密密麻麻凑成图形(更准确说是宽趋近于0),上面公式表示x从a到b的面积求和

1.x型区域:以x自变量

2.y型区域:以y为自变量

1.面积是不变的,以谁为自变量都可以

2.两函数有交点会有抵消要,分开求

3.减出来是负的也无所谓,取绝对值就行

实际上:应为四条线,两条圈定图型,两条限定范围

极坐标求面积:

 

p为弧线长,a为半径

大体和求平面图型一个思路。

 取一小部分近似看成扇形,半径为p

求旋转体体积:

体积等于可以分为高趋近于0的许多给薄面(积分存在某个东西可以突破线性相关的原则)

求出很多个横截面的面积求和,横截面面积随着高变化而不断变化

1.绕x轴旋转,绕y轴旋转

定积分求弧长:

用弧上两点的连线来表示:

取极小的x加和极小的y

高数:定积分_第21张图片

高数:定积分_第22张图片

 

 极坐标:高数:定积分_第23张图片

 

高数:定积分_第24张图片

定积分:物理应用……

 

 

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