高数随手记：反常积分的收敛和扩散

概念理解

以y=1/(x^2)为例，本章节就是当上/下限无穷时（红色区域）或有瑕点时（绿色区域，0为瑕点）求函数围成的面积。

证明广义积分收敛的方法

收敛和扩散概念的引入

将无穷限广义积分或瑕积分（被积函数连续）转变为积分上限/下限函数

（假设b为瑕点）

假如极限存在，称反常积分收敛。

若极限不存在，称反常积分扩散。

求原函数极限法

如上所示，直接求被积函数的原函数，再根据牛顿莱布尼茨公式求极限。

比较审敛法：用函数值的大小判断

（如果是瑕积分，只需把上下限改变即可。）

注意f(x)和g(x)大于0

大函数收敛，小函数就收敛。

小函数扩散，大函就数扩散。

柯西判别法：把函数和1/x^p比较

1/(x^p)函数的特殊性质
在[a,∞]（a>0）
p>1：反常积分是收敛的。
p<=1：反常积分是无限的。
在(0,a](a<0)
p>1：反常积分是无限的。
p<=1：反常积分是收敛的。

判断原则和比较审敛法一致。

注意函数收敛不等于反常积分收敛，1/(x^2)不是收敛的，1/(x^2)在(0,a](a>0)反常积分扩散，1/(x^2)在[a,∞)反常积分收敛。

实际上我们更常用比较审敛法和柯西判别法的极限形式。

比较审敛法的极限形式：比较两函数的量级。

(如果是瑕积分就将x->∞换成x->a+)

1. (i)c在0到∞，两者反常积分收敛。

2. (ii)c=0，f（x）的量级低于g(x)。如果g(x)的反常积分收敛，那么f（x）的反常积分也收敛。

3. （iii）c=∞，f（x）的量级高于g（x）。如果g(x)的反常积分扩散，那么f(x)的反常积分也收散。

柯西测试的极限形式:把1换成入，x^p乘过去。

瑕积分就把x->∞变为x->a。

x^p变成（x-a）^p，注意p的取值对应情况刚好和无穷积分相反

无穷积分

p>1,入>=0且不等于正无穷，反常函数收敛。

p<=1，入>0可以等于正无穷，反常函数扩散。

入为一个常数：此时1/x^p和函数同一个量级，对p范围的判断就可以判断出函数是否收敛。

入为0：说明函数是收敛函数，收敛函数的无穷限反常积分必然收敛。

入为无穷：此时1/x^p的量级小于函数。

关键就是构造出x^p使得结果为常数或为0。

阿贝尔判断：判断函数相乘结果是否收敛。

1. 一个收敛，一个单调有界，瑕积分和无穷限积分区别在于区间范围不同。

分段证明收敛性

上下限无穷/上限为无穷，下限为瑕点/但被被积函数的区间存在瑕点时，分开证明收敛性。

两侧无穷限广义积分收敛的条件：证明任一一侧无穷限广义积分都收敛。

错误例子

不能说明无极限广义积分收敛

其中a的选择不影响结果，证明过程

判断上侧趋于无穷的定积分收敛与否小技巧

绝对值和收敛性

f(x)的反常积分<|f(x)的反常积分|<|f(x)|的反常积分

结合图像可以验证上面公式

由上面的公式可用比较收敛法证明收敛性

绝对收敛：如果|f(x)|反常积分收敛，f(x)反常积分就叫绝对收敛。

绝对收敛也收敛，可以通过比较收敛法证明。

柯西，比较收敛法的思考。

1. 对函数量级的比较是对大小的推广，因为它允许g(x)局部小于的情况。

2. 直接比较审敛法是最好用的。不必使用洛必达，且在同量级选择的范围更广,可以使用更高的量级如e^x

3. 柯西为我们选择了一个特别的函数充当g(x):(1/x^p)

1/(x^p)
比较函数f(t)和 变化速度
如果f(t)变化快于1/t，如f(t)=1/(t^2) ,F(t)=(-1)*t^(-1)是趋于正无穷收敛的
如果f(t)变化小于1/t，如f(t)=1/（t^(1/2)）,F(t)=2*t^(1/2)是趋于正无穷是扩散的
但也有特殊情况，一些函数变化率快于1/t慢于1/t^a(a>0)，定积分收敛，如：

4. 无论是量级的比较还是大小比较，都会用到相似的原则进行判定。

大收敛，小收敛
小扩散，大扩散。

处理函数常用技巧

1. 三角函数和1放缩

2. 拆分分母构造

3. 高低次转换实现估算和构造（上是估算，下是构造）

4. 局部放缩，把区间拆开证明

直接放缩是很难的，去接近瑕点的一段，将cos(x)放缩成实数。