[USACO22JAN] Tests for Haybales G

洛谷[USACO22JAN] Tests for Haybales G

题目大意

你要选定一个数$k$并构造一个数组$x_i$，满足$x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$，且对于每一个$i$，都满足$j_i$为使得$x_{j_i}\le x_i+k$的最大的位置。给出$j_i$，并满足$i\le j_i$以及$j_1\le j_2\le \cdots \le j_n\le n$。

输出$k$和数组$x_i$，需满足$1\le k\le 10^{18}$，$0\le x_i\le 10^{18}$

$1\le n\le 10^5$

题解

首先，我们可以将$j_i$都加上$1$，那其意义就变为了第一个大于$x_i+k$的位置。

建一棵$n+1$个节点的数，对于每个节点$i$，以$j_i+1$作为父亲并连一条边，那么根节点就为$n+1$。

对于每一层，我们需要这一层的节点比它的每一个儿子的值大$k$以上。那么，我们可以将深度为$dep$的点的$x$值定为$(n+1-dep)\times k+t(0\le t<k)$。

$t$需要满足：

• 点的深度越大，$t$越小
• 点的标号越大，$t$越大

我们发现，$dfs$序与这个条件正好相反。那么，我们令$t=k-df{n}_i$。因为连边时是从小到大，所以遍历时是从大到小，编号越大，$df{n}_i$就越小，$k-df{n}_i$就越大。

需要满足$k>n$，还要注意$x_i$的范围。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include
using namespace std;
int n,x,tot=0,dfn=0,d[200005],l[200005],r[200005];
long long k=1e6,v[200005],ans[200005];
void add(int xx,int yy){
	l[++tot]=r[xx];d[tot]=yy;r[xx]=tot;
}
void dfs(int u){
	ans[u]=v[u]*k-(++dfn);
	for(int i=r[u];i;i=l[i]){
		v[d[i]]=v[u]-1;
		dfs(d[i]);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		add(x+1,i);
	}
	v[n+1]=n+1;dfs(n+1);
	printf("%lld\n",k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}