如何求矩阵乘矩阵的转置的秩

结论

就是原矩阵的秩。

证明

设 A是 m×n 的矩阵。

可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。（充分条件）
2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0（必要条件）

故两个方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')
另外 有 r(A)=r(A')

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

参考资料

• 矩阵与其转置矩阵乘积的秩与本身的秩