通信原理学习笔记2-3：复信号分析（解析信号与预包络）、IQ调制与复信号的传输

实信号频谱的共轭对称性和冗余性

已经知道，傅里叶变换中的复指数$e^{j\omega t}$带来了负频率，意义是旋转向量$e^{j\omega t}$的旋转方向（顺/逆时针）

由此可知，实信号的频谱，一定是正负频率共轭对称的（这样不同旋转方向的旋转向量才能抵消虚部分量）
然而，正频率和负频率部分承载相同信息，存在冗余，而复信号则有可能只占用正频率（负频率），称为解析信号（是一个复信号，由Hilbert变换构造），其优点在于简化了理论分析、节约了频谱

解析信号与预包络

任意带通实信号$x(t)$，可以视为一个带通复信号$z(t)$的实部，而$z(t)$又可以视为基带复信号$x_L(t)$频谱搬移后的结果，即任何实信号可以写为：$$x(t)=Re[z(t)]=Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]$$
其中出现了两个复信号：

• 解析信号/预包络：$z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$，为频带复信号
• 复包络：$x_L(t)=z(t)e^{-j{\omega }_{c}t}$，为基带复信号
  

实际上，实信号和复信号各有其冗余性：

• 实信号时域信息简单，而正负频谱冗余
  例如，正半频谱信号$z(t)$取实部得到$x(t)$，频域上得到正负对称的频谱
  （只需正半和负半频谱中的一个即可完全表征实信号，因为可以通过共轭对称求另一个）
• 复信号频谱只有实信号的一半，而时域表达冗余
  例如，时域上原信号$x(t)$与Hilbert变换后的信号叠加得到$z(t)$，频域上取出了正半频谱
  （只需实部和虚部中的一个即可完全表征复信号，因为可以通过Hilbert变换求另一个）

复信号的实际应用

复信号的实际应用，主要思路在于利用复信号来提高频谱利用率，下面是三个具体例子

传输基带复信号$x_L(t)$的理论链路

全程使用复信号进行理论分析，任意频带实信号，可以视为频带复信号取实部得到，即$$s_{RF}(t)=Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]$$接收机的复基带信号$r(t)$，就是发射机的复基带信号$x_L(t)$（即复包络，下面记为$s(t)$）经过一个复数信道的响应，即$$r(t)=s(t)\ast h(t)和R(\omega )=S(\omega )H(\omega )$$
上面的模型用复指数$e^{j{\omega }_{c}t}$完成了上下变频，从而将射频模型等效为复基带信道模型，建立了收发端的复基带信号的直接联系，而屏蔽了调制和解调过程，让我们能够专注于基带的处理（无线通信中，射频部分的技术较稳定，大量技术手段在基带进行）

复信号是理论上的数学表达， 而实信号是实际中等价的发射和接收过程
理论中使用了复信号，而下面将会看到，（理论）复信号可以和（实际）实信号建立一一映射（$s_{RF}(t)=Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]$，复信号取实部得实信号 / 给出实信号投影求复信号），从而将理论化为现实（单边带调制SSB和IQ调制）

实际的链路：相移法进行单边带调制SSB

上边带调制原理：
$$s_{USB}(t)=\frac{A_c}{2}Re\{[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{j2\pi f_{c}t}\}=\frac{A_c}{2}[x(t)cos2\pi f_{c}t-\hat{x}(t)sin2\pi f_{c}t]$$
可以从两个角度理解单边带调制SSB：

1. 理解一：对信号$x(t)$取正频率部分，搬移至载频，然后用$Re[\cdot ]$使频谱正负对称

2. 理解二：与双边带调制DSB-SC相比，单边带调制SSB节约了一半的频谱资源，其代价是在时域上利用多一倍的信息

• “多一倍的信息”是指：

双边带调制DSB-SC：$s(t)=x(t)cos2\pi f_{c}t$
单边带调制SSB：$s_{USB}(t)=\frac{A_c}{2}[x(t)cos2\pi f_{c}t-\hat{x}(t)sin2\pi f_{c}t]$
双边带信号只调制载波幅度，单边带信号同时调制载波的幅度和相位；
等价的说，双边带信号只利用余弦载波，单边带信号同时利用余弦和正弦两个正交分量

• 另外注意，SSB调制为了恰好消除双边带信号的一个边带，单边带信号需要满足约束：正弦分量承载的信号是正弦分量承载信号的Hilbert变换；也就是说，正弦和余弦分量承载的信息相同；
  如果不满足该约束，无法实现单边带，信号带宽与双边带信号相同

然而，Hilbert变换难以实现，转换思路，也可以独立设置正弦和余弦分量承载的信息，虽然带宽与双边带信号相同，但是在时域上传递的信息量翻倍，最终频谱效率与单边带信号相同，还无需Hilbert变换，这就是IQ调制

实际的链路：IQ调制

可以从两个角度理解单边带调制SSB：

1. 理解一：与SSB不同，独立设置正弦和余弦分量承载的信息，时域信息翻倍，频域带宽不变，从而利用率翻倍；

对比DSB-SC双边带调制$$s(t)=x(t)cos2\pi f_{c}t$$和单边带SSB$$s_{USB}(t)=\frac{A_c}{2}Re\{[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{j2\pi f_{c}t}\}=\frac{A_c}{2}[x(t)cos2\pi f_{c}t-\hat{x}(t)sin2\pi f_{c}t]$$
上面说过，SSB想要消除一个边带，则：需要同时利用余弦和正弦两个正交分量来承载信息（等价地说，同时调制载波的幅度和相位），并且单边带信号需要满足约束：正弦分量承载的信号是正弦分量承载信号的Hilbert变换；也就是说，正弦和余弦分量承载的信息相同；

然而，Hilbert变换难以实现，转换思路，也可以独立设置正弦和余弦分量承载的信息即$i(t)$和$q(t)$，这就是IQ调制，IQ调制虽然带宽与双边带信号相同，但是在时域上传递的信息量翻倍，最终频谱效率与单边带信号相同，还无需Hilbert变换

2. 理解二：对于理论上的基带复信号$x_L(t)$，其包含两路正交的信息（互相没有必然联系），希望用频带实信号来实际承载和传输这个理论的基带复信号；

下面主要从理解二来介绍IQ调制

复信号下的理论IQ调制

使用复信号分析，那么IQ调制就是在传输一个复基带信号$x_L(t)=i(t)+jq(t)$，这与前面介绍的复基带信号传输模型完全一致

实际的IQ调制

复信号存在于理论中，IQ调制实际如何操作呢？

• 思想：我们需要将上述频带复信号$z(t)=x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}$进一步具化为频带实信号$x(t)$

• 方法：复信号（只有正频率）取实部得到实信号（正负频率对称的频谱），即$x(t)=Re\{z(t)\}$，从而将理论上的基带复信号转化为实际的频带实信号$x(t)$来传输
  $$\begin{array}{rl}x(t)& =Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]\\ & =Re\{[i(t)+\mathrm{j}q(t)]\left[\cos \left({\omega }_{c}t\right)+\mathrm{j}\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right]\}\\ & =Re\{i(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)+\mathrm{j}\left[q(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)+i(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\right]\}\\ & =i(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)\end{array}$$

• 这就是说，假如要传输复信号$x_L(t)=i(t)+jq(t)$，实现方式就是用IQ调制来传输实信号$x(t)=i(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)$
  最终，IQ调制的实现框图如下
  

总结：对IQ调制的理解

我们理论分析使用复信号，实际传输使用实信号；

1. 假如要传输复信号$x_L(t)=i(t)+jq(t)$，那么IQ调制就是传输实信号$x(t)=i(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)$（整个传输实信号的过程可以在数学上完全等价于复数信号的传输）
   原理：频带复信号$[i(t)+jq(t)]e^{j{\omega }_{c}t}$和频带实信号$i(t)cos{\omega }_{c}t-q(t)sin{\omega }_{c}t$是一一对应的，或者说在数学上是等价的==，或者说：虽然实信号与复信号不同，但两者互相决定，知道一个也就知道另一个

再次观察上式，IQ调制传输了复信号的实部$$x(t)=Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]=i(t)\cos \left({\omega }_{c}t\right)-q(t)\sin \left({\omega }_{c}t\right)$$
注意到，复信号$x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}=[i(t)+jq(t)]e^{j{\omega }_{c}t}$唯一对应了一个实部和一个虚部（$Re[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]$和$Im[x_L(t)e^{j{\omega }_{c}t}]$），因而它的实部和虚部互相确定、互相约束
由此可知，复信号、复信号实部、复信号虚部，三者一一对应，由其中任意一个可唯一确定另外两个

2. 之前说过，另一种理解角度是：与DSB和SSB对比，IQ调制使用余弦和正弦两个正交的载波分量，正交地并行传输两路实信号$i(t)$和$q(t)$，并且它们之间独立设置，没有约束（等价于传输一个复信号）

对比DSB调制：只使用了一路载波$cos{\omega }_{c}t$，传输一路信号
对比SSB调制：使用了两路载波$cos{\omega }_{c}t$和$sin{\omega }_{c}t$，但Q路必须为I路的Hilbert变换，才能保证得到单边带频谱
IQ调制：充分利用正弦函数的正交性，用两路载波$cos{\omega }_{c}t$和$-sin{\omega }_{c}t$，正交地并行传输两路实信号$i(t)$和$q(t)$，且两路信号之间没有约束

3. 从频谱上看，原来两路实信号的频谱，分别承载到三维频谱的实/虚平面内，互不干扰

调制对应的三维频谱如图，其中I路对应实信号$x(t)$，Q路对应实信号$y(t)$

4. 从复信号的角度分析正交IQ调制，则就是两个旋转向量合成一个新的旋转向量的过程
   并且如果IQ两路信号为常数，IQ 调制的结果就是具有特定幅值和相位的正弦波，这也是QAM等数字调制的关键原理
   原因：

为了简单直观，从复信号和复平面向量的角度分析原因：
将$x(t)$、$y(t)$、已调信号$s(t)$这三个实信号全部视作复信号（复平面旋转向量）的投影
IQ两路对应复平面上的幅度/初相/角速度恒定的两个旋转向量，它们合成的结果，就是一个具有特定的幅度/初相/角速度（与原来相同）的一个旋转向量复，再回到实信号，这就是一个幅度和相位被改变了的正弦波，从而实现QAM调制

可见，IQ调制就是用「幅值为$x(t)$」的旋转向量 和 「幅值为$y(t)$」的旋转向量 合成一个旋转向量

• 两个小的旋转向量，在旋转过程中始终保持垂直，故称“正交调制”；
• 这三个旋转向量的角速度均为$2\pi f_c$；

合成所得的旋转向量，在实轴的投影正是$s(t)=x(t)cos{\omega }_{c}t-y(t)sin{\omega }_{c}t$
注意，这三个旋转向量的幅值可以不断变换（因为$x(t)$和$y(t)$随时间变换）；
当然，$x(t)$和$y(t)$也可以为常数值，这样一来，合成的旋转向量的幅值恒定（对应的已调实信号就是幅度和相位被改变了的正弦波），也就是用IQ调制实现QAM、PSK的原理

总结：IQ调制传输的是实信号$x(t)$，但是它可以完全等价于传输复信号$x_L(t)=i(t)+jq(t)$；此外，信道冲激响应和接收信号也是实信号，但他们也同样能等价为复信号，最终整个IQ调制链路等价于之前介绍的基带复信号$x_L(t)$的理论传输链路