矩阵树定理复习与简要证明

矩阵树定理

用处

计算无向图的生成树个数。

命题&简要证明

矩阵树定理：
给定一个有n个点的图G的邻接矩阵A和度数矩阵B（就是$B[i][i]$表示i这个点的出度，其他位置均为0），记S为G的生成树个数。设T为B-A，记T划去第k行和第k列的矩阵为P（1<=k<=n)
求证：$\det (P)=S$
证明：
我们使用容斥原理来证明这个定理
首先对于(i,i)位置上的点，我们在行列式中选择这个点相当于为这个点选择一个父亲。
我们将矩阵的行列式的排列取出，记作g。若$g[i]不等于i$，则将i向g[i]连一条边，并记作图C
引理：C中是由一个个环组成的，并且是都是简单环
证明：首先如果出现了一条边x->y，则意味着一定不会有p[y]=y，所以y也一定会有一条出边，最终一定会形成一个环。
有环非简单环就意味着有一个点至少有两个出边，这个当然是不可能的
所以我们就有图C是由一个个互不相交的环构成
我们就可以进行容斥了，设$f(i)表示每一个点选出父亲来以后至少存在i个环的方案数$
于是有$S={\Sigma }_{k=0}^{无限大}f(k)\ast (-1{)}^k$
此时发现，如果一个环的代价是-1，那么在C的代价就将是$(-1{)}^k\ast f(k)$
所以我们只需要证明一个环的代价为什么会是-1
证明:我们将环放在一个矩阵中
考虑数学归纳法：我们知道当环的编号是1,2,3,4……n首尾相接的时候，他的代价一定是1（奇数的时候逆序对个数是偶数，否则反之）
我们只要证明交换两个点的编号后逆序对个数的奇偶性不发生变化
可以使用矩阵来证明，具体来讲就是交换i,j两行和i,j两列（每交换一次行列式的值就取反），发现行列式刚好不变，也就证明了逆序对个数的奇偶性并不会发生变化。
当然我们也可以用普通的方法进行证明，具体的比较简单，可以自行证明

特殊命题：求完全图G的生成树个数
证明：构造G的拉普拉斯矩阵T（即矩阵树定理中的B-A）
其实就是T就是$T[i][j]=n-1(i=j)$,$T[i][j]=1(i不等于j)$
将T进行加减高斯消元，发现第一行加上剩下所有的行得到一个全是1的行
而此时将剩下的所有行加上第一行，最终就会得到一个对角线上分别是$1,n,n,n,\dots \dots$，其他都为0的矩阵
这个矩阵的行列式明显就是$n^{n-2}$

特殊用法

在矩阵中的每一个值其实是可以是多项式（证明如上）