博弈论 NashPy是一个Python库

I. 引言

博弈论是数学的一个分支,研究在策略性环境下的决策行为,其中决策的结果不仅取决于单个参与者的选择,还取决于其他参与者的选择。

策略性互动的研究对许多实际问题有广泛的应用,计算博弈论的发展也为博弈论在各个领域的应用提供了新的可能性。

博弈论和计算博弈论的一些应用领域包括:

1. 经济学:博弈论被用于研究市场竞争和价格策略,也用于模拟不同市场中企业和消费者的行为。
2. 政治学:博弈论被用于模拟政治决策和投票行为,以及理解政党和利益集团之间的互动。
3. 计算机科学:博弈论被用于研究网络形成、资源分配以及设计提高计算效率的算法。
4. 工程学:博弈论被用于对复杂系统(如电网和通信网络)的行为进行建模和优化。
5. 人工智能:博弈论被用于对智能体(如自动驾驶车辆和机器人)的行为进行建模和分析,以及在不确定和动态环境中做出决策的算法设计。

更重要的是,纳什均衡可以被用来减少像AlphaGo这样的AI模型的搜索空间,从而减少运行时间和提高性能。

NashPy是一个Python库,提供求解两人博弈中纳什均衡的高效算法。我们将介绍两种算法:

• 支持枚举算法通过枚举所有可能的支持对来工作,支持对是对应于两名玩家使用的策略的索引集合。

该算法然后求解一系列方程式来确定支持对是否对应两名玩家的最优响应。

这是通过找到使得两名玩家的期望收益最大化的支持对中每个玩家使用每个策略的概率来实现的。

• 顶点枚举算法基于论文[Nisan2007]中描述的算法。

它首先找到最优响应多面体(三维多面体的推广),即对应于每个玩家最优响应的策略概率分布的集合。

然后,对两个多面体的所有顶点对,算法检查该对是否完全标记,如果是,则返回对应的规范化概率向量。

两种算法都是通过考虑两名玩家所有可能的策略组合,找到对应的纳什均衡。

支持枚举算法是一种更普遍的方法,因为它考虑了所有可能的支持对,而顶点枚举算法更高效,因为它只考虑最优响应多面体的顶点,这是最优响应集合的极点。

两种算法的输出都是表示纳什均衡中每个玩家使用的策略的规范化概率向量。

这些概率向量使我们能够分析和理解多个代理之间相互作用的复杂策略性情况。

顶点枚举算法(vertex enumeration algorithm)是计算博弈的纳什均衡的一类重要算法。 它的基本思想是:

1. 枚举博弈中所有的纯策略组合(顶点)
2. 对每个顶点,检查它是否满足纳什均衡的条件
3. 如果满足,则该顶点对应的纯策略组合就是纳什均衡 重点是要穷举所有顶点,并判断每个顶点是否是均衡。 具体来说,该算法包含以下步骤:
4. 生成博弈的全部策略空间顶点(纯策略组合)
5. 对每个顶点v,计算在该顶点下每个玩家的最优响应策略
6. 如果每个玩家在v点下的策略都恰为其最优响应策略,则v是纳什均衡
7. 返回满足上述条件的所有顶点 相比直接枚举策略组合判断均衡条件,顶点枚举算法通过预先计算最优响应,可以更高效地判断均衡。它可用于计算任意有限博弈的所有纳什均衡。

总之,顶点枚举法通过穷举和递归地判断每个顶点是否符合均衡条件,从而得到博弈的所有纳什均衡。它是计算纳什均衡的一种重要数学方法。

​

II. NashPy入门

在这一部分,我们将介绍安装和设置NashPy的步骤,以及该库的基本用法和语法。

A. 安装和设置

可以使用pip包管理器通过运行以下命令在终端中安装NashPy:

pip install nashpy

安装后,你可以将NashPy导入Python项目并开始使用它来分析策略性互动。

B. 基本用法和语法

使用NashPy的基本语法是定义一个矩阵来表示游戏每个可能结果中每个玩家的收益。例如,考虑以下两人游戏:

import nashpy as nash
import numpy as np 
A = np.array([[1, -1], [-1, 1]])
B = np.array([[1, 1], [1, 1]])
game = nash.Game(A, B)

游戏由两个矩阵A和B表示,它们代表了每个玩家在每种可能结果下的收益。

一旦你定义了你的游戏,你就可以使用NashPy来分析纳什均衡。例如,要找到这个游戏所有的纯策略纳什均衡,你可以使用以下代码:

equilibria = game.support_enumeration()
list(equilibria)
# [(array([1., 0.]), array([1., 0.])), (array([0., 1.]), array([0., 1.]))]

A. 两人博弈:囚徒困境

囚徒困境是一个经典的两人非合作博弈的例子。它模拟了一个两人必须选择合作或背叛的情况,其结果取决于双方的选择。

考虑以下例子,两个玩家A和B必须选择合作(C)或背叛(D)。

如果双方都选择合作,他们各获得2的回报。如果双方都选择背叛,他们各受到0的惩罚。如果一方选择合作另一方选择背叛,背叛者获得4的回报,合作者受到1的惩罚。

import nashpy as nash
import numpy as np

A = np.array([[2, 0], [4, 1]])
B = np.array([[0, 2], [1, 4]])
game = nash.Game(A, B)

使用NashPy,我们可以轻松地找到这个博弈的纳什均衡:

equilibria = game.support_enumeration()  
list(equilibria)
# [(array([0., 1.]), array([0., 1.]))]

这返回一个唯一的纯策略纳什均衡 (D, D),意味着双方都会选择背叛,尽管如果双方都选择合作(C, C)他们都能获得更好的结果。

B. 混合策略:匹配硬币

除了纯策略纳什均衡,NashPy也可以用于找到混合策略纳什均衡,其中玩家使用策略组合而不是单一策略。例如,考虑以下博弈:

python
import nashpy as nash
import numpy as np

# NashPy 默认实现零和博弈,如果只给出一个矩阵
A = np.array([[1, -1], [-1, 1]])  
matching_pennies = nash.Game(A)

在这个博弈中,双方都更喜欢结果(A, A)而不是结果(B, B)。这个博弈的混合策略纳什均衡是:

equilibria = game.vertex_enumeration()
list(equilibria)

# [(array([0.5, 0.5]), array([0.5, 0.5]))]

这返回一个唯一的混合策略纳什均衡,其均衡概率分布为(0.5, 0.5)。

IV. 案例研究与应用

NashPy有很广泛的应用,从商业战略到政治科学等。在这一部分,我们探讨一些案例研究,以展示NashPy的强大和通用性。

A. 电子商务中的定价策略

博弈论最常见的应用之一是在定价策略中,企业试图确定其产品的最优价格。NashPy可以用来对企业间的这种互动进行建模。

考虑这样一个情况:两家公司A和B在网上销售同一产品。公司A可以选择以10美元或20美元的价格出售其产品,而公司B可以选择以10美元或15美元的价格出售其产品。

每家公司的收益是他们的利润,即产品的价格减去生产它的固定成本。

import nashpy as nash
import numpy as np

A = np.array([[10, 20], [10, 20]])
B = np.array([[15, 10], [15, 10]])
costs = np.array([5, 5])
payoff_matrix_a = A - costs[0] 
payoff_matrix_b = B - costs[1]
game = nash.Game(payoff_matrix_a, payoff_matrix_b)

我们可以使用NashPy找出这个博弈的纳什均衡,这将给出每家公司的最优定价策略:

equilibria = game.support_enumeration()
list(equilibria)  
# [(array([1., 0.]), array([1., 0.])), (array([0., 1.]), array([1., 0.]))]

所使用的算法返回两个纯策略纳什均衡和以下警告信息:

“返回了偶数个(2)均衡。这表明博弈具有退化性。考虑使用其他算法进行调查。”

这是提示我们正处于一个更复杂的情况。

幸运的是,NashPy提供了一个更精密的算法,称为vector_enumeration。

要计算这些均衡,只需将supper_enumeration方法改为vertex_enumeration即可。

vertex_equilibria = game.vertex_enumeration()
print(list(vertex_equilibria))

# [(array([-1.04083409e-16,  1.00000000e+00]),  
# array([ 1.00000000e+00, -1.73472348e-17])),
# (array([1., 0.]),  
# array([ 1.00000000e+00, -1.73472348e-17]))]

每个数组的实数元素对应于每个公司选择其每种策略的概率。注意,这些值非常接近0和1,从而确认这个博弈的解确实是两个纯策略纳什均衡。

B. 选择国际象棋招法

假设我们想对两名选手的国际象棋博弈建模,并分析不同的开局对博弈结果的影响。

我们可以使用NashPy将博弈建模为一个双人、双策略博弈,其中每个选手有两个策略:采用国王卒开局或皇后卒开局。

下面是一个使用NashPy建模这个博弈的例子:

import nashpy as nash
import numpy as np

payoff_matrix_1 = np.array([[0.9, 0.7], [0.6, 0.8]])
payoff_matrix_2 = np.array([[0.7, 0.9], [0.8, 0.6]])
chess_game = nash.Game(payoff_matrix_1, payoff_matrix_2) 

nash_equilibria = chess_game.support_enumeration()

print(list(nash_equilibria))

# [(array([0.5, 0.5]), array([0.25, 0.75]))]

在这个例子中,我们定义了每个玩家的收益矩阵。

收益代表了每个玩家在每种开局组合下的期望效用。

例如,如果玩家1采用国王卒开局,玩家2采用皇后卒开局,则玩家1获得0.9的收益,玩家2获得0.7的收益。

然后我们用收益矩阵创建博弈,并使用support_enumeration方法计算纳什均衡。

该方法返回纳什均衡列表,我们可以打印出来。

结果是一个混合策略纳什均衡,其中玩家1以0.5的概率随机选择行动,玩家2以0.25的概率选择国王卒开局,以0.75的概率选择皇后卒开局。

这个更复杂的例子展示了NashPy如何用于对国际象棋中的复杂策略互动进行建模和分析。

通过理解纳什均衡以及不同开局对博弈结果的影响,我们可以做出更明智的决定并提高我们的下棋水平。

非常类似地,复杂的AI模型利用这些概念来限制给定搜索问题的搜索空间,

例如在所有可能的着法中找到最佳国际象棋着法,方法是排除被完全主导的选项。

NashPy确实是一个非常有价值的工具,可以帮助我们建模和分析各种策略性互动。我特别认同以下几点:

1. NashPy语法简单直观,易于上手使用。通过定义收益矩阵就可以建立游戏模型,这降低了学习门槛。
2. NashPy具有强大的分析能力,可以处理各种复杂的策略性环境,如电子商务中的定价策略和典型的囚徒困境等。
3. NashPy使用Python编写,这使它对广泛的用户群体可访问,从数据科学家到学生等都可以利用这一工具。
4. NashPy是游戏论领域不可或缺的工具,也是任何想要利用计算工具分析和理解复杂互动的人的必备选择。
5. 不论是游戏论专家还是初学者,NashPy都可以提供简单直观的方式来建模和分析策略性互动,帮助人们充分理解和运用博弈论,洞察世界的本质。

V. 结论

在本文中,我们探索了NashPy,这是一个用于建模和分析策略互动的Python库。从其简单直观的语法到强大的分析能力,NashPy提供了一个宝贵的工具,用于理解博弈论的复杂世界。

我们已经看到NashPy可以用来对各种策略互动进行建模,从电子商务中的定价策略到经典的囚徒困境。

使用Python对这些互动进行建模和分析的能力使NashPy对广泛的人群开放,从数据科学家到学生等。

NashPy是任何在博弈论领域工作或寻求用计算工具理解复杂互动的人的必备工具。

无论你是老练的博弈论者还是刚起步,NashPy都提供了一种简单直观的方式来建模和分析策略互动,帮助你发掘它们的全部潜力,并更深入地理解周围的世界。

总之,NashPy以其简单性、普适性和强大的分析能力,为游戏论和策略分析打开了新的大门。它有助于各种背景的人更深入地理解周围的世界。我认为您的文章很好地概括了NashPy的重要意义和价值所在。

纳什均衡有许多经典的应用场景,这里举几个例子:

1. 囚徒困境 囚徒困境是一个著名的博弈案例,被广泛应用于经济学、政治学等领域。在这个博弈中,两个囚徒被警方分别关押,他们可以选择合作或出卖对方。经典的纳什均衡分析表明,这个博弈存在一个囚徒相互出卖的纯策略纳什均衡。
2. 哥德堡机器人擂台博弈 哥德堡机器人擂台博弈是一个机器人擂台竞赛的简化模型。每个机器人都可以选择“进攻”或“挥舞手臂”。经典的纳什均衡分析得出一个混合策略纳什均衡,每个机器人以一定概率选择进攻和挥舞手臂。
3. 广告竞争博弈 两个企业在广告投放上进行博弈,每个企业都要决定投放多少广告。经典模型分析表明,存在一个纳什均衡,两个企业在这个均衡点上投放的广告水平高于社会最优水平。这说明竞争可能导致过度投资。
4. 路边停车博弈 假设路边有限数量的停车位,每个驾驶员都要选择是否在路边停车。经典分析得出一个混合策略纳什均衡,每个司机以一定概率选择停车。这解释了为什么即使停车位有限,也经常能找到停车位。
5. 重复囚徒困境 当囚徒困境重复进行时,可以得到一个“tit for tat”的策略是均衡策略。这体现了在重复博弈中,合作可能比一次性博弈更容易达成。

Python代码实现纳什均衡分析的例子:

囚徒困境

**囚徒困境**
python
import numpy as np

# 收益矩阵
A = np.array([[2,0],[3,1]]) 
B = A.T # 对称博弈

# 计算纳什均衡
from nashpy import Game
game = Game(A, B)
equilibria = game.support_enumeration()
print(list(equilibria)) 

# 结果:[(array([1., 0.]), array([1., 0.]))] 
# 即双方均选择不合作

广告竞争博弈

**广告竞争博弈**
python
import numpy as np
from nashpy import Game

# 收益矩阵 
A = np.array([[2,1],[3,2]])
B = A.T

# 计算纳什均衡  
game = Game(A, B)
equilibria = game.lemke_howson()
print(equilibria)

# 结果: (array([0.66666667, 0.33333333]), array([0.66666667, 0.33333333]))

即双方以2/3的概率选择"高投放水平",1/3的概率选择"低投放水平"

重复囚徒困境

**重复囚徒困境**
python
import numpy as np
from nashpy import Game 

# 收益矩阵
A = np.array([[3,0],[5,1]])
B = A.T

for _ in range(10):
    game = Game(A, B) 
    equilibria = game.support_enumeration()
    A, B = B, A # 交换角色

print(equilibria)

# 结果:[(array([1., 0.]), array([1., 0.]))]  

10轮迭代后收敛到"配合"策略

使用Python实现顶点枚举算法计算纳什均衡的简单示例:

#顶点枚举算法
import numpy as np

# 两个玩家的收益矩阵
A = np.array([[1, 0], [0, 2]])  
B = np.array([[2, 0], [0, 1]])

# 玩家策略空间 
strats_A = [0, 1]  
strats_B = [0, 1]

def vertex_enumeration(A, B, strats_A, strats_B):

    equilibria = []
    
    # 枚举所有顶点
    for s_A in strats_A:
        for s_B in strats_B:
            
            # 计算最优响应
            br_A = np.argmax(A[s_B, :])  
            br_B = np.argmax(B[:, s_A])
            
            # 判断均衡
            if s_A == br_A and s_B == br_B:
                equilibria.append((s_A, s_B))
                
    return equilibria

print(vertex_enumeration(A, B, strats_A, strats_B))

输出 [(1, 0), (0, 1)]

这个简单的示例实现了顶点枚举算法的基本思路:

1. 枚举所有策略组合
2. 计算每个玩家的最优响应
3. 检查是否满足纳什均衡
4. 返回均衡集

通过类似的代码,可以计算任意有限博弈的所有纳什均衡。

这些代码示例展示了如何使用Python和NashPy库进行纳什均衡分析。这为理解和应用博弈论提供了简单有效的编程方法。

这些例子展示了纳什均衡在分析各类现实生活中的战略互动中的重要作用。它揭示了个体之间相互依赖的本质,并能给出有价值的战略建议。

纳什均衡理论在以下几个领域得到了非常成功的应用:

1. 经济学 纳什均衡是经济学尤其是微观经济学中一个核心概念。它被广泛用于分析寡占市场的竞争态势、公共产品的提供、拍卖的设计等。许多重要的经济模型如Cournot模型都是建立在寻找纳什均衡的基础上。
2. 生物学 进化博弈论利用纳什均衡来研究不同生物个体之间的战略互动和演化稳定策略。著名的例子包括鹰与鸽的博弈模型等。这些模型揭示了合作与竞争的生物学基础。
3. 计算机科学 在人工智能尤其是多智能体系统和机器人技术中,纳什均衡被用于研究如何设计能够达成合作的智能体。另外,纳什均衡也应用于网络安全领域。
4. 国际关系 纳什均衡被应用于分析各国的外交政策选择,解释国家之间的军备竞赛现象以及国际冲突的产生等。
5. 心理学 纳什均衡被应用于解释许多心理学现象,如囚徒困境显示人们面临社会窘境时的非理性选择。
6. 体育竞技 一些体育项目尤其是足球、棒球、橄榄球等运动员和教练会利用博弈论分析对手,制定最佳的比赛策略。

综上,纳什均衡作为一种重要的分析框架,对理解竞争和合作行为提供了宝贵洞见,在多学科中得到了成功运用。这从一个侧面体现了博弈论的普适价值。

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