ARPACK特征值求解分析
线性方程组求解、特征值求解是(数值)线性代数的主要研究内容。力学、电磁等许多问题，最终都可以归结为特征值、特征向量的求解。
ARPACK使用IRAM(Implicit Restarted Arnoldi Method)求解大规模系数矩阵的部分特征值与特征向量。了解或者熟悉IRAM算法，必定有助于更好地使用ARPACK中相关特征值求解函数。
本文拟就ARPACK中特征值求解的IRAM算法进行分析，希望对从事相关研究的朋友们有所帮助。
注1：限于研究水平，分析难免不当，欢迎批评指正。
零、预修
对于n阶级复矩阵
，若存在n阶向量
与标量
，满足
，则称
是矩阵
的特征值，
是对应的特征向量。
更一般地，若对于n阶级复矩阵、
，若存在n阶向量与标量，满足
，则称是矩阵的广义特征值，是对应的广义特征向量。
定义Hessenberg矩阵
，
为了叙述方便，本文以一般特征值问题进行叙述，而不讨论广义特征值。
一、大型稀疏矩阵特征值算法
1.1 Lancos算法
1.2 Arnoldi算法
Arnoldi在1951年发表的文章中提出了一种获取大型稀疏矩阵的部分特征值、特征向量的方法。在这种方法中，通过Ritz\Galerkin余量法，将矩阵
约化为低阶Hessenberg矩阵，进而求解该Hessenberg矩阵的特征值与特征向量，用以近似源矩阵部分特征值、特征向量，即
![\left [ \kappa _{i} \right ]\left ( \lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{u} \right )\left [ k_{i} \right ]\boldsymbol{c}=0](http://img.e-com-net.com/image/info8/44faccc9dd0740e6aaa4980d3b82db38.png){kind=small}
上式也可以写作
其中，
，
，
，
，
，
。
即有，
由此，可推出
若取
，则有
从中可以看出，
实际上就是Krylov子空间
的一组标准正交基。
然而，在实际数值计算过程中，由于计算精度等问题，通常很难保证![\boldsymbol{v}_{j+1}^{T}\boldsymbol{v}_{i}=0,j\in \left [ 1,k \right ], i\in \left [ 1,j \right ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/1bdb3758b7a44e059019172fb1945d3d.png){kind=small}
，也就是说矩阵计算矩阵的过程中，存在正交性丢失的问题。
针对此问题，Sorensen在1992的论文中提出了一种称之IRAM(Implicit Restarted Arnoldi Method)的算法。Sorensen认为误差
实际上是初始向量
的函数，可以通过不断选取新的初始向量
，迭代Arnoldi过程
次来强迫
，并且给出了收敛性证明。同时对于得到的
，可以施加了带偏移的QR分解，用以剔除不想要的特征值。这实际上就是ARPACK使用的算法。
参考书籍
Gene H. Golub. Matrix Computations.
徐树方. 数值线性代数. 北京大学出版社, 2013.
参考文献
Arnoldi W E .The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem[J].Quarterly of Applied Mathematics, 1951, 9(1).DOI:10.1093/qjmam/4.4.466.
D,C,Sorensen.Implicit Application of Polynomial Filters in a k-Step Arnoldi Method[J].Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1992.DOI:10.1137/0613025.
Burrus C S , Cox S J , Radke R J .A Matlab Implementation of the Implicitly Restarted Arnoldi Method for Solving Large-Scale Eigenvalue Problems[J]. 2000.
R.B. Lehoucq, Analysis and Implementation of an Implicitly Restarted Arnoldi Iteration", Rice University Technical Report TR95-13, Department of Computational and Applied Mathematics.
网络资料
ARPACK
https://github.com/opencollab/arpack-ng