一元函数微分学中导数--定义--意义--基本公式--运算法则

目录

导数的定义

左导数和右导数

导数的几何意义和物理意义

几何意义

导数的几何意义--切线的斜率

物理意义

 导数的物理意义——瞬时速度

基本初等函数导数公式 

基本初等函数

常用基本初等函数导数公式

导数求解的四则运算法则

函数的求导法则

复合函数求导法则 

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导数的定义

导数是描述一个函数在某一点上的变化率的概念。

1.在某一点的导数定义

若极限

 存在，称f(x)在点x~0~处可导，并称此极限值为函数f(x)在x~0~处的导数值，记为f'(x~0~),即

 特别地，在上式中，如果令x=x~0~+△x，则可得出导数的另一种表达形式

 

2.导函数

如果f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，则称函数f(x)在(a,b)内可导。这时，对于任一定义域内的x都对应着f(x)的一个确定的导数值，即导数值f'(x)是一个随x变化而变化的函数，这个函数就叫做函数y=f(x)的导函数，简称为导数，记作f'(x)，导函数的定义式如下：

注意

1. 导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率
2. 函数f(x)在点x~0~处的导数f'(x~0~)就是导函数f'(x)在点x=x~0~处的函数值

左导数和右导数

根据从某一点处左右两侧趋近于该点的方向，可以得出左导数和右导数的概念

• 从点x~0~的左侧趋近于x~0~,得到的导数为点x~0~的左导数
• 从点x~0~的右侧趋近于x~0~,得到的导数为点x~0~的右导数

例如：下面的绝对值函数在0点的左导数和右导数不相同，一个-1 一个+1，0 位置不可导

f(x)=|x|

 

函数y=f(x)在某一点处可导的充分必要条件是y=f(x)在这一点处左、右导数存在且相等。

 

导数的几何意义和物理意义

几何意义

导数的几何意义是函数曲线在某一点处的斜率。斜率是函数曲线在该点处的切线的斜率，切线是曲线在该点处的最陡峭的直线。换句话说，导数告诉我们曲线在特定点的变化速度，即函数在该点的瞬时变化率。

举个例子，如果我们考虑一个运动物体的位置-时间图像，该函数的导数就是速度，即运动物体在某个时刻的瞬时速度。在这种情况下，导数告诉我们物体在该时刻的运动方向和速度大小。同样地，如果我们考虑速度-时间图像，该函数的导数就是加速度，即物体在某个时刻的瞬时加速度。

导数的几何意义--切线的斜率

曲线y=f(x)在点A处切线的斜率就是函数f(x)在点A处的导数 

物理意义

导数的物理意义是描述物理量随时间变化的快慢程度。在物理学中，许多物理量都是随时间变化的，例如位置、速度、加速度等。导数表示这些物理量随时间变化的斜率或变化率，即表示物理量每单位时间的变化量。

例如，如果一个物体的位置随时间变化，其导数表示物体每单位时间所移动的距离，也就是速度。计算加速度时，需要对速度求导，因为加速度表示速度每单位时间的变化量。

 导数的物理意义——瞬时速度

如果物体按s=f(t)的规律做变速直线运动，则在某一刻的瞬时速度即为函数在该时刻的导数

 

基本初等函数导数公式 

基本初等函数

把常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这6类函数统称为

基本初等函数。

• 常值函数：y=C, 其中C为常数
• 幂函数：y=x^μ^（其中μ为任意实常数）
• 指数函数：y=a^x^ (a>0且a≠1)
• 对数函数：y=log~a~x (a>0且a≠1)
• 三角函数：如y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx等
• 反三角函数：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx

常用基本初等函数导数公式

另外，有些导数的公式可以根据下面的两个特殊极限推导出来

 

导数求解的四则运算法则

函数的求导法则

函数的求导法则包括以下几种：

1. 常数函数的导数为0。

2. 幂函数的导数为该幂次数减1的幂函数乘以该幂次数的系数。

3. 指数函数的导数为该函数本身的值乘以底数。

4. 对数函数的导数为原函数的导数除以该函数本身的值。

5. 三角函数的导数为该函数的导数公式。

6. 反三角函数的导数为该函数的导数公式。

7. 复合函数的导数为链式法则。

8. 积分函数的导数为原函数。

 例题

复合函数求导法则 

复合函数求导法则又称为链式法则：

复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。