数学建模--（1.2）优劣解距离法（Topsis）

优劣解距离法

       TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。
  TOPSIS 法是一种常用的 综合评价方法，其能 充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

        那么如何利用原始数据的信息呢？在层次分析法中，我们提到了层次分析法的局限性，如：决策因素不能太多，数据已知的情况下不容易用数据进行准确的说明。那么TOPSIS法就是利用数据进行说明，而且也对决策因素没有限制。

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目录

优劣解距离法

1.模型步骤

2.模型实现

第一步：将原始矩阵正向化

极小型指标 极大型指标

中间型指标 极大型指标

区间型指标 极大型指标 

第二步：正向化矩阵标准化

第三步：计算得分并归一化

3.模型拓展

4.模型总结

5.代码实现

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1.模型步骤

topsis进行建模，大致分为以下三个步骤：

1. 将原始矩阵正向化
2. 将正向化矩阵标准化
3. 计算得分并归一化

接下来，我们根据例题讲解，并在相应出进行解释。

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2.模型实现

例：小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的成绩、以及与他们吵架的次数（两种因素）如下表所示，请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述综合成绩的高低。

姓名	成绩	与他人吵架的次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
小李	99	3

第一步：将原始矩阵正向化

在生活中，常见的指标有四种*：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

那么，在 TOPSIS 方法中，就是要将所有指标进行统一正向化，即统一转化为极大型指标。 那么就需要极小型、中间型以及区间型的指标进行转化为极大型指标。 

极小型指标 极大型指标

姓名	成绩	与他人吵架的次数	正向化后的争吵次数
小明	89	2	1
小王	60	0	3
小张	74	1	2
小李	99	3	0
指标类型	极大型	极小型	极大型

极小型指标转换为极大型指标的公式：max − x 
如果所有的元素均为正数，那么也可以使用：1/x，公式不唯一！
 

中间型指标 极大型指标

中间型指标： 指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）。{ x i }是一组中间型指标序列，且最佳的数据为 ,那么正向化的公式如下：

区间型指标 极大型指标 

区间型指标： 指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。{x i}是一组区间型指标序列，且最佳的区间为 [ a , b ] , 那么正向化的公式如下：

 

第二步：正向化矩阵标准化

 标准化的目的就是消除不同量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：

 那么对其标准化后的矩阵记为Z，Z的每一个元素：

 即（每一个元素/根号下所在列元素的平方和）,得到标准化矩阵Z:

 注意：标准化的方法不唯一，但目的都是为了去量纲。

 那么对题目中的矩阵进行处理：

 

第三步：计算得分并归一化

定义最大值：

定义最小值：

定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最大值的距离：

 定义第i（i = 1,2,…,n）个评价对象与最小值的距离 ：

 那么，我们可以计算得出第 i( i = 1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分:

 很明显 0≤Si≤1，且 Si 越大 Di+ 越小，即越接近最大值。

那么对题目进行计算得分：

上一步标准化后的矩阵如下表：

 最大值：[0.6048, 0.8018]，最小值：[0.3665, 0]

 未归一化的得分:

 

姓名	D+	D-	未归一化得分	归一化后的得分	排名
小明	0.5380	0.3206	0.3734	0.1857（0.3734/为归一化之和）	3
小王	0.2382	0.8018	0.7709	0.3834	1
小张	0.3078	0.5413	0.6375	0.3170	2
小李	0.8018	0.2382	0.2291	0.1139	4

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3.模型拓展

  本道题目中默认了各项指标的权重相同，但在实际的评价中指标都是有各自的权重，因此应该用权重对公式进行修正，修正后的公式如下，ω 代表权重。

 ω 可以由偏主观的层次分析法得出，也可由偏客观的熵权法得出，但是我建议使用综合主观与客观的权重，因为其更具有才更具说服力！

4.模型总结

        TOPSIS 法别名优劣解距离法，其主要利用数据的信息，精确的反应评价方案之间的优劣差距。TOPSIS 法多用于解决多指标的决策性问题，其实现原理为通过计算各备选方案与正负理想解之间的相对距离来进行排序并做出选择。其主要步骤如下：

1. 将原始矩阵正向化。（为了统一指标，方便后面计算，因此将指标统一为极大型指标）
2. 将正向化矩阵标准化。（消除量纲的影响）
3. 计算得分并归一化。（统计各指标的最大值，与最小值，并计算得分）
    

 5.代码实现

题目：评价下表中20条河流的水质情况。

注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超 过20或低于10均不好。

河流	含氧量（ppm)	PH值	细菌总数(个/mL)	植物性营养物量（ppm)
A	4.69	6.59	51	11.94
B	2.03	7.86	19	6.46
C	9.11	6.31	46	8.91
D	8.61	7.05	46	26.43
E	7.13	6.5	50	23.57
F	2.39	6.77	38	24.62
G	7.69	6.79	38	6.01
H	9.3	6.81	27	31.57
I	5.45	7.62	5	18.46
J	6.19	7.27	17	7.51
K	7.93	7.53	9	6.52
L	4.4	7.28	17	25.3
M	7.46	8.24	23	14.42
N	2.01	5.55	47	26.31
O	2.04	6.4	23	17.91
P	7.73	6.14	52	15.72
Q	6.35	7.58	25	29.46
R	8.29	8.41	39	12.02
S	3.54	7.27	54	3.16
T	7.44	6.26	8	28.41

区间转极大：

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % row of x 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)
    % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end

中间转极大：

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

极小转极大：

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

转换判断函数： 

% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）  
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
%     a=d+e;
%     b=e+f;
%     c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

解析代码：

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); %[2,1,3]
    % 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
    for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    % Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
    % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
    % 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
    % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
    % 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
    end
    disp('正向化后的矩阵 X =  ')
    disp(X)
end

%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

% A = magic(5)  % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA  =  8     3     2     1
% index =  4     3     1     2