day53 | 1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53. 最大子序和
目录：
解题及思路学习
1143.最长公共子序列
https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/
思考：最长重复子数组那道题，不经要是公共子序列，还要是相邻才行。但是这道题所求公共子序列可以不相邻。所以这道题不是比较相邻数字，二十从前往后找。如果是公共子序列则+1。
随想录：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
- 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
- dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
- 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]
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那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-AYVqXVbr-1689498665330)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/63aefbaa-5b76-41e6-bb04-3828a05796f3/Untitled.png)]
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
};
- 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)
1035.不相交的线
https://leetcode.cn/problems/uncrossed-lines/
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
!https://assets.leetcode.com/uploads/2019/04/26/142.png
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
思考：这道题确实跟上道题差不多，就求个最长公共子序列。
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else {
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[nums1.size()][nums2.size()];
}
};
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
随想录：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
正确的刷题顺序对解题很有帮助。
53. 最大子序和
https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
思考：用递归的方法去看，可以设dp[i]表示下标为i的位置，具有最大和的连续子数组。那么dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], dp[i]).
贪心方法：
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int result = INT32_MIN;
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
count += nums[i];
if (count > result) result = count;
if (count <= 0 ) count = 0;
}
return result;
}
};
随想录：
动规五部曲如下：
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
-
确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
-
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
-
确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
-
举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-uVkM9WdD-1689498665331)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/7efb9205-5217-4a92-9910-e21d916ff629/Untitled.png)]
在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。
所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
知识点记录
知识点
还是子序列
个人反思
dp的解法比较直接，但是需要将情况分析清楚，然后dp数组的定义很重要。