【数学建模】国赛真题分析 2012 A题 葡萄酒的评价

2012 A题 葡萄酒的评价

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确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？
2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
   4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格）
附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格）
附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）

初步分析

根据题目要求，我们需要建立数学模型来回答以下问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

要分析两组评酒员的评价结果是否有显著性差异，可以使用统计方法进行分析。一种常用的方法是使用t检验来比较两组平均值的差异，确定是否有统计学意义上的差异。
首先，对于每个评酒员，计算他们对每种葡萄酒的评分的平均值。然后，对于每组评酒员，计算他们对每种葡萄酒的平均评分的平均值。接下来，使用t检验来比较两组评酒员对每种葡萄酒的平均评分的平均值是否有显著性差异。
如果t检验的结果显示两组评酒员对某种葡萄酒的评分存在显著性差异，那么可以认为这种葡萄酒的评分更可信的那组评酒员的结果更可信。

1. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
   要根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级，可以使用聚类分析或者判别分析等方法。
   聚类分析可以根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量将它们分为几个不同的类别。这样可以根据每个类别的平均质量评分来进行分级。
   判别分析可以建立一个数学模型，根据酿酒葡萄的理化指标预测葡萄酒的质量等级。这样可以根据酿酒葡萄的理化指标将其进行分级。
2. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
   要分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，可以使用相关性分析来确定它们之间的相关性。
   首先，计算每个理化指标与葡萄酒质量评分之间的相关性系数。可以使用皮尔逊相关系数或者斯皮尔曼相关系数等方法。
   相关性分析的结果可以告诉我们哪些理化指标与葡萄酒质量评分有显著相关性，从而可以了解酿酒葡萄的哪些理化指标对葡萄酒的质量有重要影响。
3. 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
   要分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以使用回归分析等方法。

回归分析可以建立一个数学模型，根据酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来预测葡萄酒的质量评分。这样可以分析每个理化指标对葡萄酒质量的影响程度，并确定哪些指标对葡萄酒的质量影响最为重要。
论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，需要根据分析结果来判断。如果回归分析的结果显示酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量评分之间存在显著性关系，并且该模型具有较高的预测准确度，那么可以认为葡萄和葡萄酒的理化指标可以用来评价葡萄酒的质量。

基本概念

秩次和秩和

"秩次"是指在排序检验法中，计算同一酒样在不同评酒员评分方案中的排名次序。

"秩和"是指将同一组数据的秩次进行求和的结果。

Wilcoxon 符号秩检验

Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计检验方法，用于比较两个相关样本或配对样本的差异。它基于样本中的秩次（或秩和）来进行推断。

在Wilcoxon符号秩检验中，首先计算两个相关样本的差值，并对这些差值的绝对值进行排序。然后，为每个差值赋予一个秩次，其中正差值和负差值分别单独排列，并且秩次相同的差值取平均秩。最后，计算正差值的秩和（或负差值的秩和），并使用一定的检验统计量（例如，秩和符号检验统计量）进行推断。

在问题一中，使用Wilcoxon符号秩检验比较了两组葡萄酒在不同评酒员评分方案中的秩和排序。这样可以判断两种葡萄酒的评价结果是否存在显著性差异。如果检验结果显示在统计学上存在显著差异，那么可以推断两种葡萄酒的评价结果在不同置信水平下是不同的。

摘要

现行的葡萄酒质量评价方案主要依赖专家的感官评分。本文旨在通过数学建模的方法，对酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标进行分析，以研究它们与葡萄酒质量之间的关系。

针对问题一，通过排序检验法计算同一酒样在不同评酒员评分方案中的秩次，并对两组秩和排序进行Wilcoxon符号秩检验，结果显示两种葡萄酒在不同置信水平内的评价结果无显著性差异。在此基础上，比较同组内不同品酒员对该组总排序的方差大小，综合评酒员的打分得到一个理想排序，并比较不同组对理想排序的方差大小。
结果显示第一组对红葡萄酒的评价更可信，第二组对白葡萄酒的评价更可信。

针对问题二，将葡萄酒质量最高的样品作为理想点，通过相关性分析筛选与香气评分相关性较大的芳香物质成分，对这些成分和葡萄的理化指标进行基于TOPSIS法的秩和排序，利用多重比较法对酿酒葡萄进行分级，结果显示红葡萄可分为五级，白葡萄可分为四级。

针对问题三，运用主成分分析法对葡萄和葡萄酒的理化指标进行降维，以葡萄酒和葡萄的主成分作为因变量和自变量进行回归分析，得出葡萄酒中的总酚、色泽等与葡萄中的花色苷、VC含量、蛋白质和黄酮醇等有联系。

针对问题四，利用秩和排序的方法，对葡萄酒和葡萄的理化指标以及葡萄酒的质量评分进行转换。将两组理化指标的秩和排序与葡萄酒评分进行相关性分析，结果显示存在影响。根据葡萄的理化指标设置不同权重，得出变权下的综合排序与葡萄酒质量的相关性，证明可以用红葡萄酒的理化指标评价红葡萄酒的质量，而白葡萄酒的质量评价需要结合白葡萄酒和白葡萄的理化指标。本文的创新之处在于将葡萄酒的质量、葡萄与葡萄酒的理化指标转化为同一类型的秩和排序，消除了不同类型数据之间的差异，这种转化方法可以推广到其他评价问题中。

##　问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。

请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？
2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4. 分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

问题分析

2.1 问题一的分析

问题一要求比较附件1中两组评酒员的评价结果是否存在显著性差异，并确定哪一组结果更可信。由于评酒员对葡萄酒样本的评分属于感官评价，具有较大的主观性，因此需要采用非参数统计方法来处理。可以通过分析各组评分的概率分布，并使用秩相关分析法建立评价模型，以确定评分结果的可信度优劣。

2.2 问题二的分析

问题二要求根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。需要建立一个评价指标体系，包括葡萄酒的外观、香气、口感等质量方面的评分，以及酿酒葡萄的理化指标。可以采用综合评价的方法，将相关性显著的指标合并，建立模型进行多指标综合评价，以对酿酒葡萄进行分级。

2.3 问题三的分析

问题三要求分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。由于酿酒葡萄和葡萄酒各自存在多个理化指标，简单的相关分析方法无法全面描述两组变量之间的关系。可以采用典型相关分析方法，研究两组变量之间的线性组合和相关系数，以识别并量化它们之间的关系。

2.4 问题四的分析

问题四要求分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证是否能够用这些指标来评价葡萄酒的质量。可以通过筛选相关性较高的指标，并建立线性回归模型来评价葡萄酒质量。然后，通过对样本的随机遴选和验证，论证模型的可行性。

模型假设

1. 假设各样本能真实客观地反映酿酒葡萄与葡萄酒的情况；
2. 葡萄酒的质量只与酿酒葡萄的好坏有关，忽略酿造过程中的温度、湿度、人为干扰等其他因素的影响；
3. 不考虑理化性质的二级指标；
4. 每组评酒员的打分不受上个酒样品的影响，即各评分数据间独立；

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5.1 问题一的模型建立与求解

问题一要求分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，并判断两组结果在可信程度方面的优劣。我们认为由以下三个步骤组成：
步骤一：葡萄酒样本评分概率分布的确定，其目的是确定显著性差异模型的类型；
步骤二：两组评酒员评价结果的显著性差异模型的建立，主要通过Wilcoxon符号秩检验法进行显著性差异的假设检验；
步骤三：建立秩相关分析评价模型，并通过该模型判断两组品酒员评价结果在可信度方面的优劣。

5.1.1 数据的预处理

经过对数据的查找，我们发现部分原始数据存在异常，另外有些类型数据存在缺失，在此我们将其正常化处理。
（1）缺失数据的处理
对于数据中存在的缺失现象，本文采用均值替换法对这种缺失数据进行处理。
均值替换法就是将该项目剔除异常数据后取整剩余数据的平均值来替换异常或缺失数据的方法，即：
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xm* = (1/n) * ∑ xi, i ≠ m
其中，xm*为缺失值。
由于不同品酒师对同一样本相同项目的打分值差别不大，所以认为采用均值替换法来处理缺失数据是可行的。以“酒样品 20”色调数据为例进行修补，得到修正后的数据如下表所示。

原始数据中，有的数据明显比两侧的数据过大或过小，显然是不合理数据。例如，第一组白葡萄酒品尝评分的数据中，可能由于手工输入的误差，品酒员7对样品3持久性评分的数据相对于相邻各品酒员的评分发生了明显的突变现象。这种数据异常有可能对数据挖掘的结果产生不利影响。
表2 第一组白葡萄酒品尝评分样本3持久性数值异常
品酒员 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号
持久性 7 5 7 5 6 7 77 5 6 7
对于类似的异常数据采取“先剔除，后替换”的策略，对异常数据进行修正。
5.1.2 各葡萄酒样本评分数据概率分布的确定
对两组品酒员差异性评价的假设检验一般要求数据符合正态分布。统计规律表明，正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。因此，对葡萄酒质量的评分进行正态性检验有助于我们分析得出该评分是否科学、合理。
首先，计算针对每一个样本10个品酒员的评分均值，即
xm = (1/10) * ∑ xi
其次，利用SPSS统计软件中的P-P图和单样本K-S检验，对数据集两组品酒员分别对红、白葡萄酒品尝得到的四组评价结果进行了正态分布检验，若样点在正态分布P-P图上呈直线散布，则被检验数据基本上成一条直线。
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5.1.3 两组评价结果的显著性差异评价

上述检验显示各类葡萄酒得分情况属于正态总体，为了进一步说明品酒员评分的科学性以及两个评分组评分的可信度，需要检查两组给出的评分是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。

两配对样本非参数检验一般用于同一研究对象分别给予两种不同处理的效果比较。因为两组品酒员分别对同一样本组进行评分，故两组数据为配对数据。对于两组配对数据的检验，需要引入适用于T检验中的成对比较，但并不要求成对数据之差Di服从正态分布，只要求对称分布即可的Wilcoxon符号秩检验法，用来决定两个样本是否来自相同的或相等的总体。其检验步骤（以红葡萄为例）如下：

Step1. 提出假设：

H0: 两组品酒员对酒样本的评价结果是相同的；

H1: 两组品酒员对酒样本的评价结果是不同的。

Step2. 选定显著性水平 α = 0.05，nn1 = 27

Step3. 根据样本值计算成对观测数据之差Di，并将Di的绝对值按大小顺序编上等级。最小的数据等级为1，第二小的数据等级为2，以此类推（若有数据相等的情形，则取这几个数据排序的平均值作为其等级）。

Step4. 等级编号完成后恢复正负号，分别求出正等级之和T+和负等级之和T-，选择T+和T-中较小的一个作为威尔科克森检验统计量T。

Step5. 统计量T的均值和方差分别为ET和DT，确定检验统计量。

5.2 问题二的模型建立与求解

该问题需要根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对附件中的酿酒葡萄进行分级。由于酿酒葡萄理化指标的数量和种类较多，为了与现有的评价体系相结合，需要选择关键的理化指标构建分级体系。然后根据理化指标的数据特征进行聚类划分，再结合问题一的结果，以等级方式划分酒样的质量数据，最终得到酿酒葡萄品质的分级。

5.2.1 理化指标体系的建立

根据相关文献【4】和附件中提供的数据，酿酒葡萄的品质可以从外观品质、风味品质、加工品质和营养品质四个方面进行评价。

考虑到酿酒葡萄的主要用途是酿制葡萄酒，因此酒的成品质量也可以作为衡量葡萄品质的指标之一。

综合以上衡量标准，结合附件中提供的酿酒葡萄理化指标，筛选得到酿酒葡萄品质评价的理化指标体系如下：

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5.3 问题三的模型建立与求解

根据问题分析，我们可以基于酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标数据，构建相关系数矩阵来对两者的理化指标进行关联性分析，并选择高度关联的指标对进行进一步探究。然后考虑葡萄的多个理化指标对葡萄酒的理化指标的综合影响情况，运用逐步回归分析，得到相应的回归方程，并选择检验量较高的指标组合进行假设性影响分析。

5.3.1 葡萄和葡萄酒的理化指标关联性分析

在酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标关系研究中，由于两者的理化指标数目较多，并且彼此可能存在相关性，因此我们首先需要计算出两者之间任意一一对应的理化指标对的关联性，并从中筛选出高度关联的指标对进行分析。

Pearson相关系数可用于衡量定距变量之间的线性关系，其定义如下：

5.3.2 基于逐步回归的理化指标关系估计模型

在上述关联性分析中，针对筛选出的显著关联的理化指标对，进行了机理性的假设探究和分析。考虑到酿酒过程中各种化学物质之间存在交错混合的状态，对单一的理化指标之间进行研究无法取得较好的结果。因此，我们以葡萄酒的理化指标作为被解释变量序列，酿酒葡萄的理化指标作为解释变量的序列组，通过建立逐步回归分析模型来探究葡萄和葡萄酒理化指标之间的综合关联程度，以判别系数R^2作为检验量。

逐步回归分析模型的建立基本思想是按照因子对被解释变量的影响程度从大到小的顺序逐个引入回归方程，并对回归方程中的全部变量进行检验。若变量不显著，则剔除；若变量显著，则保留。直到回归方程中的所有变量对被解释变量的作用都显著为止。然后，在剩余的未选因子中选出对被解释变量作用最大的变量进行检验，如果显著，则引入方程；如果不显著，则不引入。重复进行上述步骤，直到没有显著因子可引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。

对于给定的数据序列y和自变量序列x_1, x_2, …, x_n，逐步回归算法的运行过程可以描述如下：

5.4 问题四的模型建立与求解

5.4.1 葡萄和葡萄酒的芳香物质关联性分析

根据问题分析，芳香物质是影响葡萄酒香气品质的内在因素，因此需要对酿酒葡萄和葡萄酒中的芳香物质进行关联性分析。我们使用SPSS分析软件处理模型准备中的芳香物质数据，先对数据进行归一化处理，然后利用Pearson相关系数建立关联性分析模型。通过分析，我们得到了红葡萄酒和白葡萄酒与各自的酿酒葡萄之间的芳香物质关联性矩阵。在矩阵中，带*号和带**号的关联度值分别表示在0.05和0.01水平上的显著性相关。

根据指标关联度的高低，在红葡萄酒指标关联矩阵中，我们选取了与红葡萄酒中的乙酸乙酯和5-甲基糠醛两种芳香物质关联度值最高的酿酒葡萄芳香物质。而在白葡萄酒指标关联矩阵中，我们选取了与白葡萄酒中的3-甲基-1-丁醇-乙酸酯和1-己醇两种芳香物质关联度值最高的酿酒葡萄芳香物质。只有这两种芳香物质具有关联度。具体结果综合展示于下表10中。

6. 模型的科学性分析

本文对于提出的问题进行了不同要求的分析，建立了多个预测模型来解决这些问题。通过科学性分析，我们得出以下结论：

6.1 基于两组评酒员评价结果的显著性分析模型的科学分析：

在评酒员品评过程中，除了会出现由于酒样质量差异引起的数据差异外，还难以避免评酒员主观差异等因素的影响。为了分析每行每列之间数据差异是否显著，我们采用了双因素差分分析模型。通过对原始数据、经标准化处理的数据和经置信区间法处理后的数据进行分析和改进，我们力求减少评酒员的主观差异，最大化酒样之间因质量差异而产生的差异。因此，该模型具有可信度，并且其结果验证具有科学性和合理性。

6.2 基于K-Means聚类的酿酒葡萄分级模型的科学分析：

K-Means聚类算法是一种经典的分类方法，通过将K个中心点作为聚类的依据，将最接近它们的对象归类。通过迭代的方法，逐步更新各聚类中心的值，直到得到最佳的聚类结果。在本文中，基于酿酒葡萄的理化指标，我们提取了影响葡萄品级的指标，并对葡萄的各种品质进行了K-Means聚类。通过评分对最终聚类中心进行排序。这种聚类方法快速且使得同一聚类内的对象相似度较高，不同聚类之间的对象相似度较低。总体上，该方法可行性较高，具有较好的科学性和合理性。

6.3 酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的逐步回归模型的科学分析：

逐步回归是建立多元回归方程的过程，通过按偏相关系数的大小逐个引入自变量，并对每个自变量的偏相关系数进行统计检验，有效的自变量保留在回归方程中，直到得到最优方程。在本文中，由于酿酒葡萄的理化指标较多，常规的多元回归方式难以考虑到所有情况并得出最优回归方程。因此，我们针对每个葡萄酒的理化指标，将酿酒葡萄的理化指标作为自变量，利用Matlab智能工具箱进行逐步回归。这种方法降低了回归的复杂性，并且具有较好的科学性和合理性。

6.4 基于多级逐步回归的理化指标与品质关系的估计模型的科学分析：

本模型是在逐步回归模型的基础上进行改进的。考虑到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标以及葡萄酒理化指标与质量之间存在逐级相关关系，我们进行了两次逐步回归，并将结果叠加，以得到它们之间的联系和相互影响关系。该模型简单易懂，同时具有科学性和合理性。

7. 模型的评价与改进

7.1 模型的优点

（1）在构建显著性分析模型时，对数据进行了仔细处理，通过标准化和置信区间法得到更精确的结果。体现了严谨的思维和科学性。
（2）对于模型结果进行了大胆推测，并能够联系全文不同模型所得结果，合理地进行分析，并验证了推测的可能性。
（3）充分利用了EXCEL和MATLAB等数学软件，在数据处理和模型求解过程中发挥了重要作用，得到了较理想的结果。同时充分利用了附件中的各种信息，并对模型结果进行了检验。

7.2 模型的缺点

（1）在回归方法的选择上，虽然采用了逐步回归这一简单高效的方法，但忽略了自变量之间的交互作用对因变量产生的影响，可能导致回归结果不够准确。
（2）在处理芳香物质数据时，忽略了不完整数据，可能会导致一些重要指标的丢失。

7.3 模型的推广

首先，本文建立的模型与实际情况相符，具有一定的指导性。可以进一步对模型进行深入分析，例如改变或增加葡萄和葡萄酒的理化指标和芳香物质，以探索其对葡萄酒质量的影响。

总体而言，该模型具有一定的普遍性，方便进一步推广。它不仅可以用于葡萄酒质量评价的研究，还可以应用于食品质量评价、工业物资分析等各个领域的评估研究。

在具体实施中，可以根据不同的实际背景对模型进行修改，并根据实际情况随时调整参数。例如，根据具体分析要求，对数据进行合理的统计处理，并根据模型的核心方法解决问题。