动态规划之 KMP 算法详解

KMP 算法（Knuth-Morris-Pratt 算法）是一个著名的字符串匹配算法，效率很高，但是确实有点复杂。
本文用pat表示模式串，长度为M，txt表示文本串，长度为N。KMP 算法是在txt中查找子串pat，如果存在，返回这个子串的起始索引，否则返回 -1。
为什么认为 KMP 算法就是个动态规划问题呢，等会有解释。对于动态规划，之前多次强调了要明确dp数组的含义，而且同一个问题可能有不止一种定义dp数组含义的方法，不同的定义会有不同的解法。
读者见过的 KMP 算法应该是，一波诡异的操作处理pat后形成一个一维的数组next，然后根据这个数组经过又一波复杂操作去匹配txt。时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(M)。其实它这个next数组就相当于dp数组，其中元素的含义跟pat的前缀和后缀有关，判定规则比较复杂，不太好理解。
本文则用一个二维的dp数组（但空间复杂度还是 O(M)），重新定义其中元素的含义，使得代码长度大大减少，可解释性大大提高。
一、KMP 算法概述
首先还是简单介绍一下 KMP 算法和暴力匹配算法的不同在哪里，难点在哪里，和动态规划有啥关系。暴力的字符串匹配算法很容易写，看一下它的运行逻辑：

// 暴力匹配（伪码）
int search(String pat, String txt) {
    int M = pat.length;
    int N = txt.length;
    for (int i = 0; i <= N - M; i++) {
        int j;
        for (j = 0; j < M; j++) {
            if (pat[j] != txt[i+j])
                break;
        }
        // pat 全都匹配了
        if (j == M) return i;
    }
    // txt 中不存在 pat 子串
    return -1;
}

对于暴力算法，如果出现不匹配字符，同时回退txt和pat的指针，嵌套 for 循环，时间复杂度 O(MN)，空间复杂度O(1)。最主要的问题是，如果字符串中重复的字符比较多，该算法就显得很蠢。
比如 txt = “aaacaaab” pat = “aaab”：

很明显，pat中根本没有字符 c，根本没必要回退指针i，暴力解法明显多做了很多不必要的操作。
KMP 算法的不同之处在于，它会花费空间来记录一些信息，在上述情况中就会显得很聪明：

再比如类似的 txt = “aaaaaaab” pat = “aaab”，暴力解法还会和上面那个例子一样蠢蠢地回退指针i，而 KMP 算法又会耍聪明：

因为 KMP 算法知道字符 b 之前的字符 a 都是匹配的，所以每次只需要比较字符 b 是否被匹配就行了。
KMP 算法永不回退txt的指针i，不走回头路（不会重复扫描txt），而是借助dp数组中储存的信息把pat移到正确的位置继续匹配，时间复杂度只需 O(N)，用空间换时间，所以我认为它是一种动态规划算法。
KMP 算法的难点在于，如何计算dp数组中的信息？如何根据这些信息正确地移动pat的指针？这个就需要确定有限状态自动机来辅助了，别怕这种高大上的文学词汇，其实和动态规划的dp数组如出一辙，等你学会了也可以拿这个词去吓唬别人。
还有一点需要明确的是：计算这个dp数组，只和pat串有关。意思是说，只要给我个pat，我就能通过这个模式串计算出dp数组，然后你可以给我不同的txt，我都不怕，利用这个dp数组我都能在 O(N) 时间完成字符串匹配。具体来说，比如上文举的两个例子：

txt1 = "aaacaaab" 
pat = "aaab"
txt2 = "aaaaaaab" 
pat = "aaab"

我们的txt不同，但是pat是一样的，所以 KMP 算法使用的dp数组是同一个。只不过对于txt1的下面这个即将出现的未匹配情况：

dp数组指示pat这样移动：

PS：这个j不要理解为索引，它的含义更准确地说应该是状态（state），所以它会出现这个奇怪的位置，后文会详述。
而对于txt2的下面这个即将出现的未匹配情况：

dp数组指示pat这样移动：

明白了dp数组只和pat有关，那么我们这样设计 KMP 算法就会比较漂亮：

这样，当我们需要用同一pat去匹配不同txt时，就不需要浪费时间构造dp数组了：

KMP kmp = new KMP("aaab");
int pos1 = kmp.search("aaacaaab"); //4
int pos2 = kmp.search("aaaaaaab"); //4

二、状态机概述
为什么说 KMP 算法和状态机有关呢？是这样的，我们可以认为pat的匹配就是状态的转移。比如当 pat = “ABABC”：

如上图，圆圈内的数字就是状态，状态 0 是起始状态，状态 5（pat.length）是终止状态。开始匹配时pat处于起始状态，一旦转移到终止状态，就说明在txt中找到了pat。比如说如果当前处于状态 2，就说明字符 “AB” 被匹配：

另外，处于某个状态时，遇到不同的字符，pat状态转移的行为也不同。比如说假设现在匹配到了状态 4，如果遇到字符 A 就应该转移到状态 3，遇到字符 C 就应该转移到状态 5，如果遇到字符 B 就应该转移到状态 0：

具体什么意思呢，举例解释一下。用变量j表示指向当前状态的指针，当前pat匹配到了状态 4：

如果遇到了字符 “A”，根据箭头指示，转移到状态 3 是最聪明的：

如果遇到了字符 “B”，根据箭头指示，只能转移到状态 0（一夜回到解放前）：

如果遇到了字符 “C”，根据箭头指示，应该转移到终止状态 5，这也就意味着匹配完成：

当然了，还可能遇到其他字符，比如 Z，但是显然应该转移到起始状态 0，因为pat中根本都没有字符 Z：

这里为了清晰起见，我们画状态图时就把其他字符转移到状态 0 的箭头省略，只画pat中出现的字符的状态转移：

KMP 算法最关键的步骤就是构造这个状态转移图。要确定状态转移的行为，得明确两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符；确定了这两个变量后，就可以知道这个情况下应该转移到哪个状态。下面看一下 KMP 算法根据这幅状态转移图匹配字符串txt的过程：

请记住这个 GIF 的匹配过程，这就是 KMP 算法的核心逻辑！
为了描述状态转移图，我们定义一个二维 dp 数组，它的含义如下：

dp[j][c] = next
0 <= j < M，代表当前的状态
0 <= c < 256，代表遇到的字符（ASCII 码）
0 <= next <= M，代表下一个状态

dp[4]['A'] = 3 表示：
当前是状态 4，如果遇到字符 A，
pat 应该转移到状态 3

dp[1]['B'] = 2 表示：
当前是状态 1，如果遇到字符 B，
pat 应该转移到状态 2

根据我们这个 dp 数组的定义和刚才状态转移的过程，我们可以先写出 KMP 算法的 search 函数代码：

public int search(String txt) {
    int M = pat.length();
    int N = txt.length();
    // pat 的初始态为 0
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        // 当前是状态 j，遇到字符 txt[i]，
        // pat 应该转移到哪个状态？
        j = dp[j][txt.charAt(i)];
        // 如果达到终止态，返回匹配开头的索引
        if (j == M) return i - M + 1;
    }
    // 没到达终止态，匹配失败
    return -1;
}

到这里，应该还是很好理解的吧，dp数组就是我们刚才画的那幅状态转移图，如果不清楚的话回去看下 GIF 的算法演进过程。
下面讲解：如何通过pat构建这个dp数组？
三、构建状态转移图
回想刚才说的：要确定状态转移的行为，必须明确两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符，而且我们已经根据这个逻辑确定了dp数组的含义，那么构造dp数组的框架就是这样：

for 0 <= j < M: # 状态
    for 0 <= c < 256: # 字符
        dp[j][c] = next
这

个 next 状态应该怎么求呢？显然，如果遇到的字符c和pat[j]匹配的话，状态就应该向前推进一个，也就是说next = j + 1，我们不妨称这种情况为状态推进：

如果遇到的字符c和pat[j]不匹配的话，状态就要回退（或者原地不动），我们不妨称这种情况为状态重启：

那么，如何得知在哪个状态重启呢？解答这个问题之前，我们再定义一个名字：影子状态（我编的名字），用变量X表示**。所谓影子状态，就是和当前状态具有相同的前缀**。比如下面这种情况：

当前状态j = 4，其影子状态为X = 2，它们都有相同的前缀 “AB”。因为状态X和状态j存在相同的前缀，所以当状态j准备进行状态重启的时候（遇到的字符c和pat[j]不匹配），可以通过X的状态转移图来获得最近的重启位置。
比如说刚才的情况，如果状态j遇到一个字符 “A”，应该转移到哪里呢？首先状态 4 只有遇到 “C” 才能推进状态，遇到 “A” 显然只能进行状态重启。状态j会把这个字符委托给状态X处理，也就是dp[j][‘A’] = dp[X][‘A’]：

为什么这样可以呢？因为：既然j这边已经确定字符 “A” 无法推进状态，只能回退，而且 KMP 算法就是要尽可能少的回退，以免多余的计算。那么j就可以去问问和自己具有相同前缀的X，如果X遇见 “A” 可以进行「状态推进」，那就转移过去，因为这样回退最少：

当然，如果遇到的字符是 “B”，状态X也不能进行「状态推进」，只能回退，j只要跟着X指引的方向回退就行了：

你也许会问，这个X怎么知道遇到字符 “B” 要回退到状态 0 呢？因为X永远跟在j的身后，状态X如何转移，在之前就已经算出来了。动态规划算法不就是利用过去的结果解决现在的问题吗？
PS：对这里不理解的同学建议读读这篇旧文 动态规划设计之最长递增子序列。
这样，我们就可以细化一下刚才的框架代码：

int X # 影子状态
for 0 <= j < M:
    for 0 <= c < 256:
        if c == pat[j]:
            # 状态推进
            dp[j][c] = j + 1
        else: 
            # 状态重启
            # 委托 X 计算重启位置
            dp[j][c] = dp[X][c] 

四、代码实现
如果之前的内容你都能理解，恭喜你，现在就剩下一个问题：影子状态X是如何得到的呢？下面先直接看完整代码吧。

public class KMP {
    private int[][] dp;
    private String pat;
    public KMP(String pat) {
        this.pat = pat;
        int M = pat.length();
        // dp[状态][字符] = 下个状态
        dp = new int[M][256];
        // base case
        dp[0][pat.charAt(0)] = 1;
        // 影子状态 X 初始为 0
        int X = 0;
        // 当前状态 j 从 1 开始
        for (int j = 1; j < M; j++) {
            for (int c = 0; c < 256; c++) {
                if (pat.charAt(j) == c) 
                    dp[j][c] = j + 1;
                else 
                    dp[j][c] = dp[X][c];
            }
            // 更新影子状态
            X = dp[X][pat.charAt(j)];
        }
    }
    public int search(String txt) {...}
}

先解释一下这一行代码：

//base case
dp[0][pat.charAt(0)] = 1;

这行代码是 base case，只有遇到 pat[0] 这个字符才能使状态从 0 转移到 1，遇到其它字符的话还是停留在状态 0（Java 默认初始化数组全为 0）。影子状态X是先初始化为 0，然后随着j的前进而不断更新的。下面看看到底应该如何更新影子状态X：

int X = 0;
for (int j = 1; j < M; j++) {
    ...
    // 更新影子状态
    // 当前是状态 X，遇到字符 pat[j]，
    // pat 应该转移到哪个状态？
    X = dp[X][pat.charAt(j)];
}

更新X其实和search函数中更新状态j的过程是非常相似的：int j = 0;

for (int i = 0; i < N; i++) {
    // 当前是状态 j，遇到字符 txt[i]，
    // pat 应该转移到哪个状态？
    j = dp[j][txt.charAt(i)];
    ...
}

其中的原理非常微妙，注意代码中 for 循环的变量初始值，可以这样理解：后者是在txt中匹配pat，前者是在pat中匹配pat[1:]，状态X总是落后状态j一个状态，与j具有最长的相同前缀。所以我把X比喻为影子状态，似乎也有一点贴切。
另外，构建 dp 数组是根据 base casedp[0][…]向后推演。这就是我认为 KMP 算法就是一种动态规划算法的原因。
下面来看一下状态转移图的完整构造过程，你就能理解状态X作用之精妙了：

至此，KMP 算法就已经再无奥妙可言了！看下 KMP 算法的完整代码吧：

public class KMP {
    private int[][] dp;
    private String pat;

    public KMP(String pat) {
        this.pat = pat;
        int M = pat.length();
        // dp[状态][字符] = 下个状态
        dp = new int[M][256];
        // base case
        dp[0][pat.charAt(0)] = 1;
        // 影子状态 X 初始为 0
        int X = 0;
        // 构建状态转移图（稍改的更紧凑了）
        for (int j = 1; j < M; j++) {
            for (int c = 0; c < 256; c++)
                dp[j][c] = dp[X][c];
            dp[j][pat.charAt(j)] = j + 1;
            // 更新影子状态
            X = dp[X][pat.charAt(j)];
        }
    }

    public int search(String txt) {
        int M = pat.length();
        int N = txt.length();
        // pat 的初始态为 0
        int j = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            // 计算 pat 的下一个状态
            j = dp[j][txt.charAt(i)];
            // 到达终止态，返回结果
            if (j == M) return i - M + 1;
        }
        // 没到达终止态，匹配失败
        return -1;
    }
}

经过之前的详细举例讲解，你应该可以理解这段代码的含义了，当然你也可以把 KMP 算法写成一个函数。核心代码也就是两个函数中 for 循环的部分，数一下有超过十行吗？
五、最后总结
传统的 KMP 算法是使用一个一维数组next记录前缀信息，而本文是使用一个二维数组dp以状态转移的角度解决字符匹配问题，但是空间复杂度仍然是 O(256M) = O(M)。
在pat匹配txt的过程中，只要明确了「当前处在哪个状态」和「遇到的字符是什么」这两个问题，就可以确定应该转移到哪个状态（推进或回退）。
对于一个模式串pat，其总共就有 M 个状态，对于 ASCII 字符，总共不会超过 256 种。所以我们就构造一个数组dp[M][256]来包含所有情况，并且明确dp数组的含义：
dp[j][c] = next表示，当前是状态j，遇到了字符c，应该转移到状态next。
明确了其含义，就可以很容易写出 search 函数的代码。
对于如何构建这个dp数组，需要一个辅助状态X，它永远比当前状态j落后一个状态，拥有和j最长的相同前缀，我们给它起了个名字叫「影子状态」。
在构建当前状态j的转移方向时，只有字符pat[j]才能使状态推进（dp[j][pat[j]] = j+1）；而对于其他字符只能进行状态回退，应该去请教影子状态X应该回退到哪里（dp[j][other] = dp[X][other]，其中other是除了pat[j]之外所有字符）。
对于影子状态X，我们把它初始化为 0，并且随着j的前进进行更新，更新的方式和 search 过程更新j的过程非常相似（X = dp[X][pat[j]]）。
KMP 算法也就是动态规划的思路，我们的公众号文章目录有动态规划系列，而且都是按照一套框架来的，无非就是描述问题逻辑，明确dp数组含义，定义 base case 这点破事。