详解Laplacian矩阵

1. 普通的Laplacian矩阵

对于给定n个顶点的简单图G, 它的一般 Laplacian matrix 定义如下:
$L=D-A$
其中: D是图G的度矩阵，A为图G的邻接矩阵。

2. laplacian matrix的几种常见的表示形式

其中deg(vi)表示顶点vi的度，L为普通laplacian matrix。

（1）对称规范化拉普拉斯矩阵 (Symmetric normalized Laplacian

分析可得, $L^{sym}$中的元素由下面公式给出：

注: 关于为什么要这样规范化Laplacian矩阵, 推荐一个阅读资料:

Why Laplacian Matrix need normalization and how come the sqrt of Degree Matrix?

The Laplacian $L=D-A$ works well for the regular graphs.
But the Symmetric Normalised Laplacian $\mathcal{L}=D^{-1/2}L{D}^{-1/2}=D^{-1/2}(D-A)D^{-1/2}=I-D^{-1/2}A{D}^{-1/2}$ not only works well for regular but also irregular graphs.

（2）RW规范化拉普拉斯矩阵 (Random walk normalized Laplacian

$L^{rw}$中的元素由下面公式给出：

（3）广义拉普拉斯矩阵 (Generalized Laplacian)

Generalized Laplacian 矩阵中元素由下面公式给出
注意到，普通的laplacian matrix便属于Generalized Laplacian

3. Laplacian矩阵的性质

1. laplacian矩阵是对称，半正定矩阵。
2. 存在一个为0的特征值，即rank(L) = n - 1。
3. 行和，列和均等于0。
4. L的Raleigh熵 R(L, x) = xHLx / xHx
   R(L, x)是x的连续函数，max®就是L的最大特征值, min®就是L的最小特征值。

参考博客:

• laplacian matrix的几种形式